Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
<7г = Y^ri sin фг> Pi = У~2гі cos ф;, и 2я-периодична по фг.
Если при гх = г2 = . . .= гп = 0 выполнено одно из условий
(1.3) или (1.4):
<із>
88
МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
фО, (1.4)
то положение равновесия = рг = 0 устойчиво для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий.
В случае двух степеней свободы при выполнении неравенства
(1.4) положение равновесия устойчиво по Ляпунову (в развернутом виде неравенство (1.4) в случае п — 2 совпадает с условием
(1.4) теоремы Арнольда — Мозера, рассмотренной в предыдущей главе).
Ни одно из условий (1.3) и (1.4) не сводится к другому. Например, для системы с функцией Гамильтона
#<о) = со^ — со2г2 + (Г! + Г2)г ((Ох > О, (02 > 0; п — 2)
(1.5)
имеем D2 = 0, a D3 = — 2(а>! + ю2)а ф 0. В примере же, рассмотренном в § 5 главы 4,
#(<>) = ((оіГі — со 2r2) [1 + (ягі + br2)]; (1.6)
для этой функции Гамильтона D3 = 0, a D2 = —(асо2 + Ф 0,
если асо2 + bat і ф 0.
Из устойчивости для большинства начальных условий вовсе не следует устойчивость по Ляпунову. В статье Арнольда [5] построен пример гамильтоновой системы, устойчивой для большинства начальных условий, но неустойчивой по Ляпунову. По-добно& явление неустойчивости по Ляпунову впоследствии [27] получило название диффузии Арнольда. В построенном в статье [5] примере функция Гамильтона такова, что диффузия Арнольда очень слабая: время, в течение которого г (?) находится вблизи г (0), экспоненциально растет при линейном убывании возмущений.
Но диффузия Арнольда не обязательно всегда экспоненциальна. Она может быть очень сильной. Примеров, подтверждающих этот факт, накопилось к настоящему времени довольно много. Простейший пример — функция Гамильтона (5.1) гл. 4. Приведем еще два примера. Первый [58] специально для случая автономной системы с тремя степенями свободы
Н = сол — ®2Гг + <Й3Г3 + Г1Г3 — Г1Г2 + Г2Г3 + #<« (г, ф),
(1.7)
tfW = rir2 УГ3 sin (2фі + 2ф2 + Фз).
Предполагается, что со* 0 и имеет место резонансное соотношение 2©! — 2со2 + <о3 = 0. Условие (1.4) для системы с функцией
дНт
Dn+\ — det
дг{дг. дгі
ая(0)
dr. 0
8 1] МЕТРИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 89
Гамильтона (1.7) выполнено, так как — (сох + (о2)2 ф 0. Тем не менее, положение равновесия гх= г2 = г3 = 0 неустойчиво, что видно из существования такого частного решения:
2фі + 2ф2 + фз = л,
г3(і) = 4-гі(і) = 4'Г2^ = /'3(0)[1 -6/-Р(0)іГ/3. (1.8)
Из (1.8) видно, что за время порядка г1ш (0) траектория покидает окрестность точки, сколь угодно близко расположенной к началу координат в начальный момент времени.
Второй пример для системы с двумя степенями свободы, НО с явной зависимостью функции Гамильтона от времени [59]:
Н = Vi + V2 — 24г? + 2г1гг + г\ + НМ (г,| ф, t),
(1-9)
#Ж = ]Л-Х т-2 sin (ф! + 4ф2 — Nt).
Величины %і в (1.9) связаны резонансным соотношением пятого порядка Ях + 4Я2 = N.
Ниже будет показана неустойчивость положения равновесия = 0 системы (1.9). Но сначала сформулируем условия устойчивости для большинства начальных данных в общем случае гамильтоновой системы с п степенями свободы и периодической зависимостью функции Гамильтона от времени. Пусть, функция НW в гамильтониане (1.1) зависит от t. Введем новый «импульс» гп+1 и «угол» фп+1 = t. Тогда получим автономную систему с п + 1 степенями свободы. Гамильтониан имеет вид
П
Н = ХуГх + ...-f- Япгп -f- гп+1 -f- 2 anrir} + (г, ф, і). (1.10).
І, 3=1
Дифференциальные уравнения, соответствующие гамильтониану (1.10), содержат в себе дифференциальные уравнения исходной; задачи с гамильтонианом (1.1). Для функции Гамильтона (1.10) неравенство (1.3) всегда не выполнено, так как Dn+1 = 0 и, значит, условие устойчивости для большинства начальных данных получается только из (1.4) и означает, как легко проверить, выполнимость неравенства
det Iі ^
дтїдті
фо, (1.11).
где Z/(0) — функция, определенная равенством (1.2). Отсюда следует, что для гамильтоновой системы с двумя степенями свободы и с периодической зависимостью гамильтониана от t достаточным условием устойчивости для большинства начальных условий
90
МНОГОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
будет выполнимость следующего неравенства:
all — ацагг Ф (1.12)
Для функции Гамильтона (1.9) а?2— а1га22 — 25 0, так
что устойчивость для большинства начальных условий есть, но имеет место неустойчивость по Ляпунову, что видно из частного решения, для которого
Фі + 4ф2 — Nt — я,
Гі (0 =^Г2 (t) = п (0) [1 - 24rf2 (0) t]"*- (1ЛЗ)
Отметим, что в обоих рассмотренных примерах часть Н(1) гамильтониана представляет собой резонансное возмущение системы с гамильтонианом #(0), а функция Я(0) подобрана так, чтобы возмущенная система допускала частные решения (1.8) и
(1.13). Следует отметить также, что частоты невозмущенной системы Аг = дІГ-^Ідгі, вычисленные для частных решений (1.8) и (1.13), связаны резонансными соотношениями (теми же, что и частоты линейной системы), то есть во все время движения траектории, приводящие к неустойчивости, находятся в резонансной зоне фазового пространства.
Примеры гамильтоновых систем с быстрой диффузией Арнольда построены также в работах [78, 93]. Но, кай показал Нехорошее [78, 79], в общем случае диффузия Арнольда (если она существует) является экспоненциальной. Так что рассмотренные примеры представляют собой исключения из правила. Результаты Нехорошева будут рассмотрены в § 3.
