Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
г2 = —К0 (гъ фц фа) — Кг (гь фь фг, h),
где
К0= — Згх — [а + Ь cos (фі + Зф2)] г\.
W2
Функция Кх = О (еб/2) и имеет период 2л по фх и новой независимой переменной фа. Если ввести вместо фх угол Ф = Фі + Зф2, то гамильтониан К полученной системы с одной степенью свободы
СЛУЧАЙ РАВНЫХ ЧАСТОТ
77
запишется в виде
К = — -^-(а + bcos ф) г?+ i?(r!, фх, ф2, К). (3.12)
Очевидно, что знаки коэффициентов а и Ъ можно считать одинаковыми. Сделаем замену переменных гх, ф -*¦ /, to при помощи производящей функции
(*, = ^5Г<1). <МЗ>
где К и F — эллиптические интегралы, к — их модуль. Гамиль-
тониан К примет вид
К = - 1‘ + Ф ('¦ И', *¦¦*>• (3-14)
где функция Ф = О (г5!2) и имеет период 2л по И7 и ф2. Кроме того,
функция Ф аналитична по всем переменным в области
О < б, < / < б2, | А | < б3, | Im W, ф2 | < б4,
где б і — некоторые малые положительные числа.
К системе с гамильтонианом (3.14) применим теорему Мозера об инвариантных кривых, аналогично тому, как это было в системе с гамильтоьианом (6.12) в третьей главе. В нашем случае, правда, «возмущающая» часть Ф функции Гамильтона (3.14) зависит еще от малого параметра h. Но теорема Мозера все равно применима при рассмотрении окрестности начала координат, для которой 0 < є < е0, где е0 не зависит от h, если h достаточно малая величина [12, 72]. Так как в малой окрестности начала координат инвариантные кривые существуют при всех достаточно малых значениях постоянной интеграла Н = h = const, то отсюда следует, что положение равновесия qt = pt = 0 изучаемой системы (1.1) устойчиво по Ляпунову.
§ 4. Об устойчивости в случае равных частот
Теперь рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия qt = pi = 0 системы (1.1) в случае равных частот колебаний линеаризованной системы. Эта задача изучена в работах Сокольского [86, 87]. Проводимые ниже рассмотрения основаны на результатах этих работ.
Задача об устойчивости в случае равных частот % = ©2 = ю распадается на две принципиально отличающиеся друг от друга задачи. Рассмотрим сначала первую из них, когда матрица линеаризованной системы (1.1) приводима к диагональной форме. В этом случае функцию Гамильтона (1.2) можно представить в виде (2.1), а затем применить преобразование Биркгофа. Проводи-
78 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
мая при этом нормализация принципиально ничем не отличается от аналогичных преобразований, проделанных в §§ 2 и 3. В конце концов, уничтожив форму Н3, упростив Н4 и перейдя к полярным координатам по формулам
qi = V 2 г і sin ф4, Pi = V 2r, cos ф4,
получим функцию Гамильтона (1.2) в таком виде:
Н = со (гх — r2) + c20r\ + с11г1г3 + С02Г2 +
+ 2rxrz [&2002 cos 2 (фх + ф2) — Z2002 sin 2 (фх + ф2)] +
+ 2г, /гл [А1120 sin (фх + ф2) — ^1120
cos (фх + ф2)] +
+ 2r2 Vrir2 t*iio2 sin (фх + ф2) + Z1102 cos (фх + ф2)] +
+ О ((гг + rtfb). (4.1)
Вюражения коэффициентов нормальной <] ормы (4.1) через коэффициенты гамильтониана (2.1) получаются из следующих формул:
З 1 1 Зсо2 (о2
с20 — — ?2020 — ~2 мі, і + ~2 м2> 2 у М4, 4 8~ ^7’ 7 ' 24~ 8’
(,у2
Сц = ?11г1 -|- 2wlt 6 -|- 2и3> з-----g- м8| 8 — 2м2> 5 — 2м4:4 -| g- и9і9,
З 1 1 Зсо2 (о2
Со2 — — ^0202 + ~2 иь,ь--------2 м®>в "2” Мз>® ' 8~ Иі0’10-----24" н®’9’
., 1 со2 1 (О2
^2002 — ^2002 -2 M]>3 --------- м2,4 І g~ М7,9 Г Н3,в + ~2 М4,5----------g- M8,10i
1 1 1 1 0)2 Iі 0)2
‘2002 = 2/2002 — ~2 V1,S + ^2,4 “Г “g“ У7,? — У3,6 + у У4,5------------g^S.lO»
, 1 1 1 О)2 . О)2
#1120 — ^1120------о" М2,1 + М1)4 + М3,2------- М2,в-------о" М6,4---7“ МЄ,7 “Г То Ио)8,
, 1 . . 1 1 О)2 О)2
П120 — У1120-----o' У2,1 + 1>1,4 + У3,2----------К V2,S---------о" Ув,4-7~ У8,7 + То ^9,8!
12 )2 12 і
, I 1 I г, | 1 , 0)г (О2
#1102 — ^1102 + ~2 Ue,2 + U2,3---------^М5,3--------М4,в + у М6,5 + М9,10 JTj M8)9i
7 1 1 1 О 1 1 0)2 “2
*1102 — 2/1102 + у У6,2 + ^2,3 ----^У6,3--------У4,в---2 Уб>5 “Г ~ 9’10---- 12 Vg'9’
«І,г = + 2/i2/j-> VH = хіУі — хіУіі
1, 3, ____ Зо», 1,
#і=--------2 ^юго----------2^2"'1зооо> У1 ~ ~2— "овгао + 2^7ft2oio>
%2— ®^0021 —^20011 У2 = ^0120 + -jjjj- ^2100)
1 , 1, 1 , 0), 1 , 1 ,
^3---------о-«от-----------9 “-1002+ 9Т5«1200! 2/з— о" "0012+ оГ "0211+ оГГ ft1101>
20J2 ЭЛ 2 ии1И 1 2о) U211 1 2(0
#4=-----2" ^0021+2^ ^iiio+^^ooii 2/4=--------------------2" ^0120-2 ^1011+ 2(0* ^'2100’
СЛУЧАЙ РАВНЫХ ЧАСТОТ
79
Зсо , . 1 , 1 , 3 ,
#6— “2“ -0003 “г "2^' «¦02j)i! Уь — 2 п°102 2ш^. 8001
1 1 #6= ^10 02 + -jjjjj- Л1200> 3/е = - ®^0012 ----------- ~ ^02101
#7= ^0030 — ^2^.20101 2/7 = —^1020 — "^Г^ЗООО)
1 , 1 , 1 ,
^8 = «0120-------— «1011----------J-Jg- «21001
1 1
У 8 = ^0021 + —а" ^1110 ------------ ^2001>
^9 — ------ ^0012 4“ ^0210------^110Ъ
Ш'
111 Уд = — ^0111------------— ^1002 + -^з ^1200»
^10— ------- ^0102 + ¦^з'^'ОЗООі
2/lO — — ^0003 + •^2‘^0201)
ж2020 =--------2~ (Зш2^0040 Ч- ^2020 Ч- ^4000^ j
( |
^1111 = ®2А0022“Г ^0220 Ч- ^2002 Ч- ‘^2'^2200)
^0202 =--------2~ (30)2/і0004 + ^0202 Ч- "^2~ ^0400^ і
^2002 = -g~ ^tt>2/j0022 4" ^0220 Ч- ^1111 Ч" ^2002 4“ ^220oj »
^2002 = ( СОЛ-0121 ®^1012 Ч----------— ^1210 Ч—— ^210l) >