Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Устойчивость при резонансе Wi=3o)2
Теперь рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия системы (1.1) при наличии резонанса четвертого порядка ©х == Зсо2. Эта задача изучена в работах [53, 55].
Выпишем сначала нужные для решения задачи об устойчивости коэффициенты /bviv2n,n2 при членах четвертого порядка в гамильтониане (2.3):
^2020 =--2 ® 1^004® — ^4000 — /*20201
/*1111 = ®lfi>2^0022 “Ь . ' /*2200 + ~ /*0220 + ~ /*2002і (3-1)
12 Сі>2
74 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 4
^1003 = и1003 “Ь Й>1003»
где
^0310 = — ^-(мюоз — ^100з)і
Мюоз == — ®і^ооіз + ~2аР ^1300 — 2м2 ^1102---------------^2 ^°211’
а>1 , 1 , - 1 j . (й! ,
Уюоа — 2ої; Л°112 ~ Т 1003 ' Лі201 + ~2со^ Л°310'
(3.1)
(3.2)
При помощи преобразования Биркгофа в гамильтониане (2.3) можно уничтожить все члены третьей степени, а из членов четвертой степени останутся резонансные и содержащие только произведения QjPj. Нормализованная до членов четвертого порядка функция Гамильтона будет иметь следующий вид:
Н = mqlp'i + m2q2p2 — с20 (iilhf + cu (q[p[) (q2p2) —
— c02 ІЧчРг)2 “Ь ^ішЧіРг ^озіо?2 Pi • • • (3-3)
Величины с20, с11; с02 вещественны, a Z1003 и Z0310 можно записать в виде
(О2
^юоз = #іооз ~Ь іуюозі ^озю =---J2- (#юоз — іУіооа)- (3.4)
Формулы для расчета коэффициентов нормальной формы (3.3) через коэффициенты исходного гамильтониана (2.1) таковы:
с20 — ------- ^2020 -------g- (-^0030 “Ь 2/возо) у (-^1020 “Ь ?/l02o)
-----10 ^»120 2/о12о) + у (*Ш1 + УіОІі) + ¦gg" ®2 (#0021 + 2/002l)»
2 З
Сц — Ац її — "g" (#1002 + 2/1002) + "Jq- ®2 (#0012 + 2/ооіг)------------------------
9 18
-----(#0021 + Уші)------------------------5~ (#0120 + Уоі2о) + ^ (#0111#1020 + J/olllJ/l02o)
---------- (#020і2/і011 + #101і2/020і)> (3.5)
Со2 = ------- А0202 + у ®2 (#0003 + Ушз) Н----------------------2 (#0201 + J/O20l)---------
“2
------g" (#1002 + 2/іООг)----------2" (^0111 “Ь 2/dll) '4Q'М2 (#0012 + 2/0012)і
9 1
^іооз = Июоз---------------g- (#оіго#ооі2 2/оі2о2/ооіг) — (#100 22/1011 +#10112/1002) +
4: з
+ —Г (#1002#0201 + 2/10022/0201) + (#0003#0111 + 2/оООз2/011і)> (3.6)
ш2 ^
§ 3] РЕЗОНАНС <Ді-Зиз 75
9 1
J/іооз — уюоз---(^оі2оУооі2 — агооігУоіго)------- (УюнУюог — ^іоіЛоог) 4~
4 З
Н 5" (^огоіУіоог— -^іоогУогої) + т (-^оіпУоооз — ^ооозУоііі)- (3-6) со2 ^
Выражения для xVlVziLil2 и гд.д^ц, приведены в предыдущем параграфе. Отметим, что формулы (3.5) выписаны специально для случая резонанса = Зсо2. Выражения для ctj при произвольных со1 и <в2 можно найти, например, в [37] или [55].
Пусть х21Ш + Уіооз Ф 0. Произведя тогда канонические преобразования (2.8) и (2.9), где теперь
Sin 0! =-------,/W13-------, COS 0! —--------- —ХіШ
' х1003 + ^1003 ^ Х1003 + ^1003
получим нормализованный гамильтониан в полярных координатах
Н = Зо)2Гі СО2^2 ~"Ь ^20^1 ~"Ь ^11^1^2 ~"Ь ^02^2 “Ь
+ 4- «2 1^3 (т'ооз + Уіооз)г2 /^r2 cos (фі + Зфа) + О ((г, + г2)^).
(3.7)
Введем обозначения
я — с20 -f- Зсх1 -f- 9соа, Ь = 3<в21^"^юоз ~Ь J/іооз- (3-8)
Теорема. Если гамильтониан возмущенного движения таков, что | а | < Ъ, то положение равновесия неустойчиво; если же
| а | Ъ, то имеет место устойчивость по Ляпунову.
Для доказательства неустойчивости, как и в предыдущем параграфе, рассмотрим движение на уровне Н = 0. При достаточно малых гх и г2 из уравнения Н = 0 получаем
1 1
Гі = -3 Гг — 2^ г\ [а + Ъ cos (фх -Ь.3фа)] + R (га, ф2, фх),
где функция R имеет период 2я по фх и ф2, R = О (rl12). Уравнения движения на уровне Н = 0 имеют вид
dr2 _ ЭК дф2 _ дК ^Фі ’ дфі дг2 ’
где
1 1
к = — g-r2 + -щ- [а + Ь cos (фі + Зф2)] — R (г2, ф2, фх).
В переменных Ф = ф2 + 1/Зфі, г2 = г гамильтониан имеет вид
^ ^ 27^г2(а + fecos 3(Р) +^і(г>Ф>Фі). (3-9)
76
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[ГЛ. 4
где Кх имеет период 2л по ф и фх, Кх = О (г5/2). Чтобы показать неустойчивость при выполнении неравенства | а | < Ь, воспользуемся теоремой Ляпунова о неустойчивости. В рассматриваемом случае вопрос разрешается функцией
V = г2 sin Зф. (3.10)
Вычисляя производную этой функции в силу уравнений движения с гамильтонианом (3.9), получаем
15Г = "S'(а cos Зф + Ъ) + 0 (г?/2)- (3,11)
При выполнении неравенства | а | < Ъ функция (3.11), очевидно» будет знакоопределенной. А так как функция Ляпунова V — знакопеременная, то отсюда и следует неустойчивость.
Пусть теперь | а | Ъ. Докажем устойчивость положения равновесия при выполнении этого неравенства. В тривиальном случае Ъ = 0 устойчивость следует из теоремы Арнольда — Мозера, так как нормализованная до членов четвертого порядка функция Гамильтона (3.7) при Ъ = 0 не содержит тригонометрических членов, а условие | а | 0 означает выполнение неравенства
(1.4). Случай Ъ Ф 0 более сложен. Для доказательства устойчивости снова используем интеграл Н = h = const и сведем систему с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы, но с 2л-периодической зависимостью новой функции Гамильтона от новой независимой переменной. В отличие от задачи о неустойчивости, здесь недостаточно рассмотрения только одного уровня энергии Н = h (например, h = 0, как было в рассмотренных выше случаях). В задаче об устойчивости необходимо рассматривать хотя и малый, но конечный интервал изменения постоянной h в окрестности нуля. Поэтому функция Гамильтона системы с одной степенью свободы, к которой редуцируется исходная система с двумя степенями свободы, будет зависеть от величины h как от параметра. Предполагая, что движение изучается в достаточно малой окрестности начала координат (г, — е, 0 є 1), будем считать h малой величиной, порядок которой не меньше, чем, например, ггУ~ё. Тогда, разрешая уравнение H=h относительно г2, получим
