Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
рассматриваться как центр симметрии, это приводило к соотношению Коши
с12=сц для упругих постоянных. Кроме того, ионы рассматривались как
неполяризую-щиеся точечные заряды. Однако даже до проведения этих
конкретных вычислений было ясно, что такая модель непригодна для
реалистического описания ионных кристаллов. Так, Лиддан и Герцфельд [139]
вынуждены были учесть поляризацию ионов электрическим полем,
обусловленным колебаниями решетки, а в последующем исследовании
длинноволновых колебаний ионных кристаллов Лиддан и др. [140] предложили
заменить истинный заряд иона некоторым эффективным зарядом. Кроме того,
теперь хорошо известно, что соотношения Коши для ионных кристаллов в
общем случае не выполняются.
Последующие исследования по теории колебаний ионных кристаллов можно
подразделить на две группы. В работах первой группы строятся модели
межионных сил в ионных кристаллах, основанные либо на общих физических
постулатах, либо имеющие феноменологический характер. Рассчитанные с
помощью этих моделей дисперсия и функции распределения частот
используются для сравнения с экспериментальными дисперсионными кривыми
или для определения параметров модели. К этой первой группе относятся
работа Лунд-квиста [141], в которой для кристаллов типа NaCl в
приближении Гайтлера - Лондона получены силовые постоянные
близкодействующих сил и эффективные заряды ионов, а также работы Толпыго
с сотр. [142, 143], Ямашиты и Куросавы [144], Вудса и др. [145], Харди
[146], в которых учтены как поляризация ионов электрическим полем
колеблющейся решетки, так и смещение самих ионов.
Работы второй группы носят более аналитический характер и связаны с
исследованием влияния дально-действующих кулонорских сил на распределение
и
10 Зак. 149}
146
Глава III
природу критических точек функции со2(к) в к-простран-стве и на типы
обусловленных ими особенностей функции распределения частот. В силу
математических трудностей, возникающих при учете дальнодействующих ку-
лоновских сил, в этих исследованиях рассматривались только простые модели
ионных кристаллов, не содержащие уточнений, учтенных в работах первой
группы. Полученные результаты должны рассматриваться лишь как
вспомогательные при переходе к более реалистическим моделям. Тем не
менее, поскольку в нашем обзоре основное внимание уделяется теории
динамики решетки, основанной на уравнениях движения (2.1.8), а не
получению входящих в них силовых постоянных
ческого подхода к определению спектра собственных частот ионного
кристалла.
Даже для одномерной решетки с кулоновским взаимодействием дисперсионная
формула представляется трансцендентным уравнением, и для получения
спектра собственных частот нужно применять численные методы. Если же к
дальнодействующим силам переходить путем предельного перехода в
результатах, найденных для решеток с конечным числом взаимодействий, то
можно получить ошибочное качественное представление о поведении функции
распределения частот. Легко показать, что спектр одномерной решетки, в
которой каждый атом взаимодействует с п ближайшими соседями, может иметь
п особенностей типа бесконечности. С другой стороны, известно, что для
одномерной решетки с кулоновским взаимодействием функция распределения
частот имеет точно две особенности [74] и что в спектре не может быть
много особенностей при наличии и других взаимодействий большого радиуса
Первое исследование колебаний решетки при одновременном учете как
дальнодействующих, так и близкодействующих сил было опубликовано в 1937
г. Брохом
[148], рассмотревшим модель одномерной решетки с кулоновским
взаимодействием и взаимодействием конечного радиуса между ионами. Брох
нашел выражение
ограничимся здесь изложением аналити-
[147].
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 147
для функции со2 (к) и изучил ее свойства при ?->-0. Это исследование было
продолжено Розенштоком [174], получившим, в частности, эти же результаты
более простым способом. Мы дадим краткий обзор теории для одномерной
решетки и укажем на возможные обобщения при переходе к двумерным и
трехмерным решеткам.
Для одномерной одноатомной решетки, состоящей из ионов массы т,
равномерно расположенных вдоль прямой на расстоянии а друг от друга,
уравнение движения л-го иона имеет вид
(3-вЛ)
П'
где Ф(*)-потенциальная энергия взаимодействия двух ионов, находящихся на
расстоянии х друг от друга, Хпп'-{п - п )а. В нашем случае
<D(jt) = <D*(je)±4. (3.6.2)
где Фи(д:)-потенциальная энергия близкодействующих сил отталкивания.
Предположим, что функция Фв(х) описывает взаимодействие только между
ближайшими ионами. Если подставить (3.6.2) в (3.6.1) и искать решение в
виде бегущей волны
un = Ue'^'-nne\ О<0<1, то придем к дисперсионной формуле
v (6) = Ц- = 1 - cos я0 + о ? (-1Г 1 ~ Сп°з$ -, (3.6.3)
<S>L л-1
где
у=Ф"*(а), о=|5-, (3.6.4)
Для достаточно больших значений о величина ю2 может стать отрицательной,
что приводит к нестабильности решетки. Мы рассмотрим только тот случай,
