Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
согласии с результатами, полученными Блекманом [164] с помощью численного
интегрирования. Исключением является случай сильноанизотропных щелочных
металлов Li и Na, для которых разница результатов составляет
приблизительно 7%.
Коэффициент Й4 не был рассмотрен столь же детально, так как для его
вычисления необходимо выбрать
3 Я 2Я
1 V* Г Г Sln0rf0rfq> о - ч
•'"I//W (4'2'6а>
- - У f Г-4^sinеМЛр. (4.2.66)
2 3rV jTl О О CJ (9' <р)
Вычисление Термодинамических функций 167
определенную модель межатомных сил в кристалле. Но он может быть
определен экспериментально, поскольку входит в выражение для "дебаевской
эквивалентной температуры 0". Согласно теории Дебая, формула
(4.2.7) дает точный закон изменения удельной теплоемкости кристалла
при низких температурах. Однако в этом случае дебаевский параметр 0
должен зависеть от температуры и его значения можно определить из
сравнения формул (4.2.7) и (3.1.76). В результате мы найдем, что при
низких температурах
где 0d(0) определяется из (4.2.8). Для вычисления коэффициента (20я2/21)
(kQD(0)lh)2aJa2 Хортон и Шифф [165] применили метод Хаустона для трех
моделей четырех металлов, кристаллизующихся в гранецентриро-ванной
кубической решетке. Этот коэффициент оказался положительным для Al, Ag,
Си и отрицательным для РЬ.
Хортон и Шифф [159] с помощью метода Хаустона вычислили удельную
теплоемкость при средних температурах Т ^0d(O)/3 для нескольких типичных
металлов с гранецентрированной кубической решеткой. Интересная
особенность их метода заключается в замене интегрирования по спектру
частот интегрированием по к-простран-ству. Это позволило непосредственно
использовать экспериментальные результаты для дисперсии без
промежуточного вычисления функции распределения собственных частот.
Хортон и Шифф исходили из следующего выражения для удельной теплоемкости
при постоянном объеме:
20я2 а4 21 А]
(-Х )'+•••]• <4-2-9>
L
g ((c)) Е (x)da, (4.2.10)
о
где
(4.2.11)
168
Глава IV
Если теперь подставить (3.5.17) в (4.2.10), то получим
/ f(^^)fE(Xj)dasinQdQd<f =
- -ТГ 2 /1 f Eixj)k2(lk sin 0 dQ d(f. (4.2.12)
I
Выполняя интегрирование по углам с помощью метода Хаустона, т. е.
используя формулу (3.5.26), получаем
где величины Ьа играют роль коэффициентов, входящих в формулу (3.5.26), а
индекс а нумерует выбранные направления. Для упрощения расчетов
бриллюэновская зона была заменена сферой того же объема. Тогда верхний
предел во всех интегралах (которые вычислялись численно) получался
одинаковым. Полученные приближенные результаты уточнялись введением двух
поправок. Первая заключалась в том, что в формулу (4.2.13) вводился
множитель, обеспечивающий равенство теплоемкости при высоких температурах
С" классическому значению 3R. Вторая поправка заключалась в приближенной
оценке ошибки, обусловленной заменой брил-люэновской зоны сферой равного
объема. Эта поправка к теплоемкости составляет приблизительно 1%.
Этот метод был применен к металлам Al, Ag, Au, Си и РЬ, для которых
рассматривалась модель решетки с нецентральным взаимодействием между
ближайшими атомами, предложенная Бегби и Борном, и модель с центральным
взаимодействием между ближайшими и следующими за ними атомами,
применявшаяся Лейтоном [166]. Силовые постоянные находились из
экспериментально определенных упругих постоянных. Результаты этих
вычислений качественно согласовывались с экспериментальными значениями
вг>(7") в интервале 0 sC Т < 180° К. Однако ни одна из этих моделей не
дала хорошего количественного согласия.
ьмакс
*а
) а О
Вычисление термодинамических функций 169
Метод Хаустона был применен Беттсом и др. [167] для расчета дебаевской
характеристической температуры некубических кристаллов. Эти авторы
вычислили 0D для пятнадцати гексагональных, тетрагональных и три-
гональных кристаллов. Разница между теоретическими и экспериментальными
значениями во менялась от 5 до 20%. Это различие обусловлено неточными
экспериментальными значениями упругих постоянных, а также тем, что были
использованы значения этих постоянных, определенные при комнатной
температуре.
Появление быстродействующих счетных машин активизирует применение
устаревших приближенных методов вычисления во, рассмотренных в этом
параграфе. Требуется лишь найти собственные значения динамической матрицы
для очень большого числа направлений в k-пространстве. После этого
интеграл в формуле (4.2.8) может быть вычислен с любой степенью точности.
Для кубических кристаллов эта программа была вы* полнена Делоне [4]. Он
составил таблицу вспомогательной функции f(s, t), через которую можно
выразить во, если (4.2.8) переписать в виде
(4-2Л4)
где s=(Ca - С")/(С"-С44); t=(Ci2 - С44)/С44; р - плотность кристалла; va
- объем, отнесенный к одному атому. Функция f(s, t) табулирована для
значений "=0,1 (0,1)0,9 и /=0(0,1)0,9. Кроме того, для этой таблицы
Делоне разработал интерполяционную формулу.
Аналогичный численный метод определения во для гексагональных кристаллов
