Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
кристалла методом подбора корней были выполнены для натрия Диксоном и др.
[361]. Силовые постоянные, входящие в динамическую матрицу для этого
кристалла, были определены Вудсом и др. [362] при учете взаимодействия
между атомами до пятых соседей методом нейтронной спектроскопии, который
будет описан в гл. VII. Динамическая матрица была диагонализована при
помощи электронной счетной
') W. С. Overton, частное сообщение (19601.
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 127
машины для 180 441 значений к, равномерно распределенных по неприводимой
'Дв части первой зоны Брил-люэна. Получившийся спектр показан на фиг.
10а. Из графика видно, что использование при расчете большого числа
векторов к приводит к спектру, в котором совершенно отчетливо видны
особенности типа Ван-Хова. Было обнаружено, что значение удельной
теплоемкости, рассчитанной на основе этого спектра, находится в хорошем
согласии с экспериментальными данными Мартина [363] в интервале
температур от 35° К до 120° К. При более высокой температуре существенную
роль могут играть ангармонические эффекты, а при температуре ниже 35° К
натрий претерпевает фазовый переход к гексагональной структуре с плотной
упаковкой [364], и результаты, рассчитанные для объемноцентрирован-ной
решетки, становятся неприменимыми.
Джилат и Доллинг [365] недавно предложили модификацию метода подбора
корней, которая позволяет получать результаты, по точности сравнимые с
результатами Диксона и др. [361], но расчеты при этом менее сложны. Эти
авторы производили диагонализацию динамической матрицы D(k) для
относительно небольшого числа Мс векторов к, равномерно распределенных в
некоторой "грубой" сетке. Частоты собственных колебаний для "мелкой"
сетки, содержащей М/ векторов к в непосредственной близости от каждой
точки "грубой" сетки, рассчитывались затем с помощью первого порядка
теории возмущений из их значений в точках "грубой" сетки. "Мелкая" сетка,
окружающая каждую точку "грубой" сетки, выбирается так, чтобы все мелкие
ячейки, окружающие соседние точки "грубой" сетки, плотно соприкасались.
Таким образом, неприводимый элемент зоны Бриллюэна равномерно заполнен
мелкой сеткой волновых векторов, число которых равно МСХМ/. Джилат и
Доллинг применили этот метод для расчета спектра собственных частот
натрия, используя ту же модель, которая применялась в более ранних
расчетах Диксона и др. Динамическая матрица была диагонализована только
для 440 независимых значений к, тогда как с помощью указанного метода
экстраполяции было рассчитано 34 992 000 частот, причем для
128
Глава III
этого потребовалось в 50 раз меньше времени, чем при расчетах Диксона и
др. Спектры, рассчитанные непосредственно и методом экстраполяции,
совпадают в пределах ошибок метода подбора корней.
Из сказанного очевидно, что на основе данной динамической модели решетки
можно рассчитать спектр собственных частот кристалла с высокой степенью
точности на быстродействующей вычислительной машине. Весьма вероятно, что
именно этот метод будет использоваться в будущем для получения
большинства спектров собственных частот.
Результаты, полученные по методу подбора корней, собраны в статье
Блекмана, опубликованной в "Физической энциклопедии" [5].
Метод моментов
Метод моментов, предложенный Монтроллом [123, 124], широко обсуждался при
выборе теоретических моделей решеток.
Имеется несколько способов использования моментов спектра собственных
частот. Тирринг [125] первым применил моменты для представления
теплоемкости при высоких температурах в виде ряда по обратным степеням
температуры. Первые работы Монтролла [123, 124] были посвящены
приближенному вычислению функции распределения частот. В более позднем
исследовании им была установлена связь моментов с другими
термодинамическими величинами [126, 127]. Сейчас мы постараемся выяснить,
какую информацию о спектре можно получить, если известно поведение
моментов как функции от п. Затем мы рассмотрим связь между моментами и
термодинамическими величинами.
Применение метода моментов основывается на разложении функции g(a>) в ряд
по полиномам Лежандра, коэффициенты в котором выражаются в виде линейных
комбинаций моментов. Разложим функцию g(a) в ряд
л=0 4 L
(3.5.1)
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 129
где коэффициенты а" определяются формулой
1
а" = (2л + I)-1 f g К*) Рп (*) dx. (3.5.2)
-1
Поскольку ?(ю)-четная функция, то отличными от нуля будут только четные
коэффициенты а2п. Четные моменты спектра определяются формулой
1
И2" = (r)in+1 / К*) d*. (3.5.3)
о
так что для безразмерных моментов и2п мы имеем 1
fx!"g(<0Lx)dx = (3.5.4)
о L
Поскольку полином Ргп (*) содержит только четные степени х, то с помощью
(3.5.2) и (3.5.4) мы получаем следующее условное выражение для
коэффициентов агп'.
(r)La2n= 4л_|_1 Р2П (¦*) 1ггя=и!!я • (3.5.5)
На фиг. 11 показан график функции g(u>) для упорядоченной двухатомной
одномерной решетки, вычисленный с использованием 14 моментов, и график
