Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
графические, так и аналити-
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 151
ческие методы. Все особенности спектра G(co2), рассмотренные Смоллетом,
были обусловлены только аналитическими критическими точками, хотя он
также указал на существование неаналитических точек.
Рассмотрение Смоллета было повторено и обобщено Девисом1). Кроме
особенностей, обусловленных аналитическими критическими точками, он
исследовал влияние на спектр неаналитических точек, применив для этой
цели те же методы, что и в одномерном случае.
Девис рассмотрел две различные модели двумерной решетки. Первая модель
описала квадратную решетку с параметром решетки а0, в которой атомы
совершают колебания в направлениях, перпендикулярных к плоскости решетки.
Потенциальная энергия взаимодействия была выбрана в виде
<р(г)=±-?- + <р*(г), (3.6.11)
где фп(/0-потенциальная энергия отталкивания ближайших ионов. Эта модель,
в которой каждый ион имеет только одну степень свободы, является
обобщением модели Бауэрса - Розенштока - Ньюэла [61, 64] на случай учета
дальнодействий. Дисперсионная формула для этой модели имеет вид
ОО
яда* (8ц 0г)_ па. VV , л ^i+ m cos nld, cos лот9г - 1 ,
2y ~ 2\a" +2,m-co (/2-f mJ)("/2)+1
-1-2 - COS Я0, - cos Я02, (3.6.12)
где y - силовая постоянная близкодействия, а0 - постоянная решетки.
Решеточная сумма в (3.6.12) анали-тична в квадрате 0^01, 02^1 всюду, за
исключением точки (1, 1). Вид этой неаналитичности может быть исследован
с помощью преобразования решеточной суммы по методу Эвальда [151, 152].
Девис нашел, что в окрестности точки (1, 1) дисперсионная формула имеет
вид
(О2 - и2 (1, 1) - const (ф2 Ч- ф!)л/2 1П (ф2 + Ф^)+0 (ф2 + ф2),
(3.6.13а)
•) J. A, Davies, (1960), не опубликовано.
152
Глава III
если я - четное число, и ю2 -<ю?(1, l)~const(q>2+cp2)',/2+0(<p2 + cp2),
(3.6.136)
если п - нечетное, здесь q)j=l -0j. Видно, что в первом случае
особенность будет проявляться лишь при п=2 и п=4, а в последнем случае
только при п= 1. Важно
0.5-
0 1 2 3 4 5 6 7
Фиг. 15. Функция распределения квадратов собственных частот двумерной
ионной решетки с одной степенью свободы на каждый нон. Параметр ш2 равен
безразмерному квадрату частоты.
заметить, что в обоих случаях неаналитический член является функцией
только от ф^+Фг> т. е. от радиуса-вектора в ф-пространстве. Таким
образом, дисперсионная формула является существенно одномерной в тех
случаях, когда доминирует неаналитический член. Обращение уравнения
(3.6.13а) может быть выполнено с помощью метода Гиллиса и Вейсса, а
решение уравнения (3.6.136) тривиально. Девис исследовал свойства спектра
собственных частот при произвольном целом значении п. В интересном случае
п-\ параметр а можно считать равным квадрату элементарного заряда е2 и
рассмотреть квадратную решетку, составленную из заряженных частиц с
чередующимися зарядами ±е. На фиг. 15 показан график функции G(со2) для
случая, ко-
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 153
гда е2/(2уа$) = 0,25. Разрыв непрерывности в точке (c)2=0 и существование
логарифмической особенности следуют из результатов гл. III, § 3. Однако в
точке сol функция G{со2) не испытывает разрыва непрерывности, а ведет
себя как const (<в| - ю2) при ю2->"?-. Такое поведение функции G(co2)
имеет место при любых неисчезающих значениях а.
Вторая двумерная модель, рассмотренная Девисом, по существу совпадает с
моделью, исследованной Смол-летом. Это моноатомная квадратная решетка с
постоянной а0, ионы которой колеблются в плоскости решетки. Соседние ионы
имеют равные, но противоположные по знаку заряды ±е. Потенциальная
энергия взаимодействия ионов имеет вид (3.6.11) с 1 и а-е2. Потенциал
отталкивания при близкодействии был выбран в виде фR(г) - г-9 и
распространялся только на ближайших соседей. Частоты нормальных колебаний
являются корнями векового определителя второго порядка
IAy(0i, 02)-^| = О, (3.6.14)
где
(-К0!, 02 <1),
Du = у ^9 -10 cos я(c)! -j- cos я02)
00
+ (1 - COS я/01 cos яю02),
I, m = -оо \ "Г* )
CO
Di2 = D2i==3 У (- l/+m ** sin л/01 sin ят02,
I, m = -oo </ +/И > (3.6.15)
Aa = j (9 + cos Я01 -10 cos я02) +
+ fj' (~l)/+m (1 cos л/б. cos ят02),
/, m= -со \ J
и мы положили A,2 = (mag/e2) с(P. Каждая из решеточных сумм неаналитична
в точке (1, 1). Матричные элементы D{j, выраженные через переменные ф^=1-
0^, имеют
154
Глава III
следующий вид:
-f- аналитические члены,
+аналитические члены, аналитические члены.
Неаналитичность этих функций в точке (1, 1), в которой соприкасаются две
ветви спектра, приводит к тому, что в нижней ветви при соответствующей
частоте появляется несингулярная седловая точка (4, 4), а в верхней ветви
при той же частоте - остроконечный минимум. Седловая точка вызывает
логарифмическую особенность функции G-{со2), которая, по-видимому, не
была замечена Смоллетом, а минимум - разрыв непрерывности G+ (со2) при
той же частоте.
Графики функций распределения частот обеих ветвей изображены на фиг. 16,
