Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
передающее качественный ход зависимости теплоемкости от температуры,
наблюдаемый на опыте1.
Если
Av/?@ 1,
имеем приближенно:
т. е. формула (9) переходит в классическую. Посмотрим, могут ли квантовые
закономерности, т. е. отличие (9) от (10), быть заметными в случае
макроскопических электромагнитных колебаний. Так как А: = 1,38 • 10 16
эрг/град, имеем при 0=300° (грубо):
/с 0 - 4- 10-и эргов.
1 [См. 10-ю лекцию.]
ОДИННАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
113
Возьмем v=10KI сек *, что соответствует длине волны 3 см. Тогда,
поскольку А = 6,6 • 10~27 эрг • сек, получаем (грубо):
Av = 6T0-17 эргов;
А v/ле ~ 10-3 < 1.
Таким образом, здесь квантовые закономерности не будут сказываться; они
лежат далеко за пределами чувствительности наших приборов.
Совсем иначе обстоит дело для видимого света. Возьмем длину волны 6 • 10-
5 см, т. е. v- 5 • 10й. Имеем (грубо):
Av = 3 • 10 12;
Av/A(r) - 100;
W = е~ш.
Средняя энергия осциллатора ничтожно мала по сравнению с к&.
Как было сказано в предыдущей лекции, осциллатор Планка движется по
законам классической механики. Точка, изображающая движение осциллатора
на фазовой плоскости, движется по эллиптической орбите. Энергия
осциллатора на данной орбите постоянна; она задана квантовыми условиями
(1).
Согласно классической электродинамике, электрон, совершающий
гармоническое колебание, должен был бы излучать. Осциллатор Планка
излучает только при переходе из одного состояния в другое; при этом
частота его излучения та же, что и частота обращения по эллиптической
орбите на фазовой плоскости, одинаковая для всех орбит.
Бор, исходя из ядерной модели атома, предложенной Резерфордом, перенес на
атом квантовые представления Планка. Ему пришлось при этом оторвать
частоту излучения от частоты обращения электрона по орбите.
При квантовании движения осциллатора Планк считал параметры осциллатора
неизменными. Рассмотрим поведение осциллатора при очень медленных
изменениях параметров, например поведение маятника при его укорочении.
Энергия осциллатора будет меняться за счет работы, производимой над ним
внешними силами при изменении параметра. Этот случай был разобран Релеем.
8 Л. И. Мандельштам, том IV
114
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Оказывается, что при очень медленном изменении параметров осциллатора
отношение IF/v остается постоянным. Таким образом, при медленном
изменении параметров квантованный осциллатор сохраняет свою
квантованность, т. е. условие
IF/v = nh
остается в силе. Величина W/ч является, как принято выражаться,
адиабатическим инвариантом гармонического осциллатора. (Адиабатическим
инвариантом называют величину, остающуюся неизменной при медленном
измене-
а)
б)
О-
и
О
-и
х
О
Рис. 32.
нии параметров.)
Рассмотрим случай шарика, движущегося по инерции между двумя стенками, -X
находящимися друг от друга на расстоянии I (рис. 32, а), от которых он
отражается по закону абсолютно упругого удара. Шарик совершает
периодическое движение с неизменной по абсолютной величине скоростью ± v.
На фазовой плоскости движение изображается прямоугольником 1, 2, 3, 4
(рис. 32, б). Мы будем считать, что из 2 в 3 и из 4 в 1 совершается
мгновенный перескок (на самом деле движение, конечно, сложнее).
Как изменится движение, если мы начнем очень медленно уменьшать параметр
/, т. е. сближать стенки?
Применим теорему вириала1. Здесь
г г \
2T = -V= - \±r\Xxldt-+-^\X'xidt |,
(
¦ U
I т
I О
)
где X' и X" - силы, действующие на шарик со стороны первой и второй
стенки. Так как
хг = 0, х.г = I,
имеем: _ ___
2Т= - IX",
или _
2 Т I '
X"-
1 [См. 9-ю лекцию.]
ОДИННАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
где X"-среднее значение силы за период (среднее значение силы, с которой
шарик действует на стенку, есть - X")'
При сближении стенок на |А/| (Д/<С0) мы совершаем работу
Ь.А = - Щ- Д/.
Эта работа равна увеличению средней энергии движения шарика:
д Т=-^М,
откуда
^ = -2у. (И)
Период движения шарика есть
_ 2/ V
Изменение его, вследствие сближения стенок, равно
Из (12) и (13) получаем:
Дт Д/ Av
Т Т V'
В данном случае
2 Т = mvl, Д Т - mv\v,
т. е.
Подставляя в (14) у из (11) и у из (15), получаем:
Дт • Т + т • А Г - О,
т. е.
7т = const,
или
2Т
(12)
п А! ¦ v - l ¦ Av ,. оч
Дт = 2 -з . (13)
(14)
4? =2^. (15)
j1 v ' '
const, (16)
8*
116
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
где
:1/т
есть частота колебаний шарика.
Площадь цикла на фазовой плоскости равна
Это--частный случай полученного ранее соотношения1. На основании (16)
имеем:
.S' - const,
- площадь цикла есть адиабатический инвариант.
Можно рассмотреть аналогичную задачу для немного более сложного случая
(рис. 33): упругий мячик движется вертикально под действием силы тяжести,
отскакивая от горизонтального стола, причем ускорение тяжести (параметр)
медленно меняется. Здесь график зависимости координаты от времени и
траектория на фазовой плоскости имеют вид, показанный соответственно на
рис. 34, а и б. Применяя теорему вириала, мы найдем также и здесь, что
