Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ej.
Волновые функции состояния | Vj, Ej, t) можно выразить через функции #v,e
(#)> являющиеся естественным многомерным обобщением функций Эрмита одной
переменной с непрерывным индексом (функцией параболического цилиндра
[116]). Подставляя производящую функцию (5.4) в (5.8), находим
Состояния | Vj, Ej, t} являются собственными функциями квадратичных
интегралов движения N j = 1/2 (Ij+N^j + Ijlj+w)" совпадающих в начальный
момент времени с операторами растяжения вдоль оси / в пространстве
координат q:
Состояния | Vj, Ej, ty, ввиду полноты и ортогональности системы | к, ty,
как следует из (5.5) и (5.8), образуют полную ортонормаль-ную систему.
Используя (5.7), легко проверить, что состояния | Vj, Ej, ty являются КЭС
в смысле (2.4) и определяют спектр КЭ вида
Спектр (5.15) 2гу-кратно вырожден по квантовым числам Ej. Это вырождение
может быть связано с группой Вейля симплекти-ческой группы Sp (2N, R).
3=1
здесь "вакуум"
О, ty = (2л) N/2 ехр ^ - iq^1^ + Ф (t) (5.11)
и
3=1
- ikk^^Si) Д | kj | /!(sign kjfJdkj, (5.12)
Hi
где
x = ЯД31 (X,!1(r) + Ьг - ^Ai^i)- (5.13)
(5.13)
Nj I Vj, Ej, ty = Vj | Vj, Ej, ty.
(5.14)
(5.15)
где
т
0
§ 6. Смешанный спектр квазиэнергий
Рассмотрим сначала частный случай, когда матрица монодро-мии Л (Т)
является элементом картановской группы Л(о, n/2> = = ехр {/&(°-n/2)}5 Где
Мo,Jv/2) _ матрица вида (2.13), построенная только из блоков Ы1''). Это
возможно в случае четного N = 21. Вычисляя ехр {h(°'NM}, находим явное
выражение для Л (Т):
Л(Г) =
B(1) 0
B(l) g(T) ehl+r [[ cos hr - sin К ' 1 sin hr cos hr
(в(1)Г1
0 (B^f1
• (6.1)
Собственные значения матрицы Л (Т) - комплексные числа вида
К = ехр (+ hr+l + ihr), г = 1,2, . . . , I = N/2.
Наряду с интегралами движения Ij (t) (3.12) рассмотрим их линейные
комбинации
Zr - /2,-1 + Иъп r - Ij 2, . . . , N/2. (6.2)
Операторы Zr являются нормальными, т. е. коммутируют со своими эрмитово-
сопряженными операторами:
[ZT, Zs\ = 0; [Zr, Zt] = 0; [Zrf, zU = 0. (6.3)
Коммутационные соотношения (6.3) являются следствием эрмито-вости и
взаимной коммутативности интегралов движения Ij, j = 1, 2, . . . , N (см.
(2.7)). Используя соотношения (3.14) и
(6.2), а также явный вид матрицы Л (Г) (6.1), находим связь между
операторами Zr (t + Т) и Zr (t) в виде
Zr (t + Т) = eh^+ihrZT (t), г - 1, 2, . . . , I. (6.4) Рассмотрим
состояния | ж, t), диагонализирующие полный на'
бор операторов Zr, ZT, г = 1, 2, ... , I, и, кроме того, удовлетво-
(6.5)
ряющие уравнению Шредингера (2.3):
ZT | *, О = zr | *, ty, Z*T I *, О = т* | *, t},
где zT - комплексные числа. Используя инварианты (6.2), находим решение
системы (6.5) в виде
| *, О = | U, ty, (6.6)
где | к, ty дается формулой|(5.3), а координаты вектора кг выражаются
через zT следующим образом: к2т = Im zr, A:2r_i = Re zr. Состояния | z, t
ТУ и | z, ty связаны соотношением
I zr, t + Ту = exp [Ф (?)] I zr exp (- hr+l - ihr), ty, (6.7)
153
где Ф (Т) определяется, как в (5.5). Соотношение (6.7) легко проверить,
используя (6.5), (6.6) и явное выражение для фазы Ф (?).
Состояния с определенной квази энергией получаются из состояний | я, ty с
помощью комплексного преобразования Мел-лина
| mr, рг, О = П zr, О П12'- Г mlid2zr,
Г= 1
(6.8)
d2zr - d (Re zr) d (Im zr),
где pr - вещественные положительные числа, a m - целые Используя формулы
(6.7) и (6.8), получаем спектр квазиэнергий смешанного вида
N/2
е = 4- ^ (mrhr + рД+г) -f е0,
(6.9)
- Im Ф (Т)/Т,
отвечающий квазиэнергетическим состояниям (6.8).
Рассмотрим теперь общий случай, когда матрица монодромии А (Т) является
некоторым элементом картановской подгруппы А(я,о вида Apr,ц = ехр
{Ык'1'>}, где" Ык>1) дается формулой (2.11). Приведем явное выражение
матрицы А (Г) размером 2 N X 2N в блочном виде:
А (Т) =
0 0 0 0
0 В1 0 0 0 0
0 0 с 0 0 0
-А(tm) 0 0 л$ 0 0
0 0 0 0 щ1 0
0 0 0 0 0 С-1
(6.10)
Блоки
А(~
к, А(к -диагональные матрицы размером К X К:
cos /ц 0
II э* cos }ц II
0 cos hK
sin h,
sin ho
О
о
I. (6.11)
sin h
К
Матрица С - диагональная, размером (N - К - 21) X (А - К - 21):
ghK-Hl-H О "hK+2J+2
С =
О
(6.12)
154
Матрица В1 размером 21 X 21 состоит из I блоков вида В Ва) О
Вг =
В(2)
О
в
(О
В(г) = е
кК+Н г
cos h sin h
К+т
К+г
- sin h cos h
K+r
K+r
. (6.13)
Числа hi (i = 1, 2, . . . , N), входящие в (6.11)-(6.13), вещественные,
причем ht Ф 0, г = 1, 2, . . . , К и hK+uг =^= 0, г = = 1, 2, ... , I.
Среди собственных значений матрицы Л (Т) имеется 2К комплексных чисел,
лежащих на единичной окружности, 4Z комплексных чисел, не лежащих на
единичной окружности, и 2 (N - К - 21) вещественных чисел.
Интегралы движения I удобно представить, используя блочно-матричпую
запись:
5)
) + (?)
Кроме того, каждую квадратную матрицу h-t размером N X N разобьем на
блоки вида
хр >42) |
^= П3) ?/4) j' г" = 2, 3, 4,
где - квадратная матрица размером К X К, >44) - размером
(N-K) X (N - ^l), матрицы hi и hi - прямоугольные. Соответственно этому
