Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Построим состояния | a, t), являющиеся собственными для
и удовлетворяющие уравнению Шредингера с гамильтонианом
(8.1). Волновые функции состояний | a, t) имеют вид
где а = -{- ia2 - комплексное число. Состояния | а, ?> норми-
рованы согласно условию (а', t \ a, ty = б (aj - aj б (а2 - а2).
Используя (8.15) и (8.16), получим для | a, t) связь между состояниями в
моменты времени 0 и Т:
Разлагая состояния (8.16) в комплексный интеграл Меллина согласно (6.8),
найдем выражение для ненормированных волновых функций КЭС:
еЛ1)12 - (ni V2) Ид (п2 -f- V2) %в,
(8.13)
Ej (t 4- Т) = Ej {t) ечТ; е2 (t -|- Т) = е2 (t) е~кТ, (8.14)
Ак = iB\; 1А];, AU = 0, к = 1,2.
(8.15)
одновременно коммутирующих неэрмитовых операторов А1 и Ах:
ь*
А1 | a, ty = а | a, t>; А\ \ а, О = а* \ a, t),
т
| a, t -f ТУ = е-чТ | ae'iT, ?>, где р = х -
о
| р, т, О = (езёГ1)^'2 (eie2)-1/s (2*Г1)(tm) I ?2erV |m/2 X
X exp (iE1er11112) b{ipj1+ |m|)/2 (2i|C реГ^1), (8.17)
6 И. А. Малкин, В. И. Манько
161
ехр (Со ^ + Со щ*) >
где L,чт| - функция Лагерра [88]. Спектр квазиэнергий, отвечающий этим
состояниям, является смешанным и имеет вид
т
Ешр = - -?г § ю (*) dx + рх, (8.18)
О
т
где % = ~ ^ (е1е2)_1,!^т; тп - целое положительное число, о
ар - действительное квантовое число, являющееся собственным значением
очевидного интеграла движения, а именно оператора проектирования момента
на ось z.
Рассмотрим теперь случай ненулевого электрического поля ф 0. В работе
[69] найден унитарный оператор D, переводящий состояния | п, t)о (ф =
0) в состояния с нулевым электрическим
полем | п, Г)е (см- § 8 гл. II):
t
D = ехр [- I (К? + С*Со) + i J (J| Со I2 - | Со I2) dx
(8.19)
где Со - решение уравнения Со + (ю2/4) Со = F (t), F (t) =
= - ~=-(Ех + iEv) ехр (i ^ -комплексная сила. Таким
^ 'о
образом,
\ п, t)E = D \ п, Оо- (8-20)
Явный вид волновых функций КЭС в случае ненулевого электрического поля
дается формулой (6.8) гл. III, используя которую находим дискретный
спектр квазиэнергий, отвечающий этим состояниям:
8 - (Hi -[- 1/2) Хд (Щ -]- 1/2)Хв + 60,
1 U "3 I Г |2 -U I М2) fir ^8'21^
ео - ~jt ^ -----4-1 Со | + | Со | ) dx.
о
Используя волновые функции в области неустойчивости (8.17) и применяя к
ним оператор D (8.19) согласно (8.20), находим ненормированные волновые
функции с заданной квазиэнергией с учетом ненулевого электрического поля
в виде
| р, тп, О = (ei.e2)~,/2 (БаеГ1 )гр/2 [(С -f Со)2 (е^)-1]"12 (|т^) ' X
X ехр { f щеГ11 С + Со Г - (ССо* + С*Со) + J (j I Со |2 - | Со |2) dx ] X
' L n J >
I + Со е1е2
162
о
x4m| (2fii±k?), (8.22)
где р = 1/2 (ip + | т | - 1); L*pm* (х) - функция Лагерра. Этим
состояниям отвечает спектр квазиэнергий вида
т
е = U -у- dr + рх + е°, (8.23)
О
т т
где е0 = ~ ^ (| to |2 - ^ | So |2) dt; х = jj (е^)-1 dt; р - веще-
о о
ственное, a m - целое число. Из (8.22) и (8.23) следует, что наличие
электрического поля приводит только к его сдвигу на величину е0, что
находится в соответствии с найденным ранее выражением для спектра КЭ.
Глава VI
Излучение квадратичных систем
§ 1. Излучение нестационарной системы
Рассмотрим систему, гамильтониан которой явно зави-
сит от времени. Оператор эволюции U0 (t2, tj) гамильтониана fflo (0
удовлетворяет уравнению (Н = с = 1)
idU°^'h) = M0(t2) U0 (t2, t,) (1.1)
и условию U0(<1, tj) = I. Оператор эволюции U0(t2, tx) (временная функция
Грина) является унитарным оператором и удовлетворяет соотношению
^г) ^о(^2, ^з) = U0{tx, ^з)- (1-2)
Интегралы движения 7(f), отвечающие гамильтониану являются решением
уравнения
/(01; 7(0U=/(0). (1.3)
В качестве I (0) выбираем, как и ранее (см. § 2 гл. III), координаты q и
импульсы р системы. Из (1.2) и (1.3) следует, что имеет место соотношение
Kh)U0(t2, tj) = U0(t2, (1-4)
Будем рассматривать системы, которые были стационарными в далеком прошлом
и станут стационарными в далеком будущем. Гамильтониан Ж0Ц) определяет
два стационарных гамильтониана: Ж in = Ипа Жо (0, описывающий начальные
состояния системы,
(-*-ОО
и Жг = lim Ж 0{t) - конечные состояния. Стационарные состояния,
(->ОО
отвечающие этим гамильтонианам, обозначим |Е, in) и \Е, f): Жы | е", in)
= е" | е", in); Mi\Ет, f) = Ет \ Ет, f). (1.5)
Интегралы движения, отвечающие этим гамильтонианам, будем обозначать /1п
и 7f соответственно. Амплитуды перехода между начальными и конечными
стационарными состояниями вычисля-
164
ются с помощью временной функции Грина
М(0) ¦= lim <Еп, f | Uo (h, h) | en, in). (1.6)
i2-*oo, ti~*-oo
В случае системы с квадратичным нестационарным гамильтонианом амплитуды
перехода между фоковскими состояниями были вычислены в гл. III.
Рассмотрим переходы в нестационарной системе с излучением одного фотона.
Полный гамильтониан системы в первом порядке по электромагнитному
взаимодействию содержит три члена:
Ж = Ж0 + Жил + ЖF, (1.7)
где Жт = jA- (Л - векторный потенциал поля излучения, J - вектор тока);
Жf - гамильтониан свободного поля фотонов. Векторный потенциал запишем,
