Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
вещественный вектор С (t) и функция Н0 (t) являются периодическими
функциями времени:
В (t + Т) - В (t); С (t -Г Т) - С (t); Н0 (t -Г Т) - Н0 (t).
Волновые функции состояний с определенной квазиэнергией е удовлетворяют
уравнению Шредингера с гамильтонианом (2.1)
Ж = QB (t) Q + С (t) Q + H0 (t)
(2.1)
(2.2)
т = Ж1V ot
(2.3)
и условию квазипериодичности во времени
(2,4)
.140
где ие (q, t + Т) = иг (д, t). Величина е, как указывалось выше,
определена с точностью до аддитивной добавки энергии целого числа
колебательных квантов:
е - 6q -f- /ко, со - 2я/Т, ti - 0, il, ...
С гамильтонианом (2.1), как было показано в гл. III, можно связать, как и
в классическом случае, 2N эрмитовых, явно зависящих от времени интегралов
движения 1% (t), удовлетворяющих уравнению
dlyjdt + i [Ж, /Д = 0, X = 1, 2, ..., 2N. (2.5)
Решение системы (2.5) запишем в виде
h = Лщ (t) Qv + б* (t), (2.6)
где вещественные матрица Лхц и вектор 8^ удовлетворяют системе уравнений
(см. (4.2), (4.3) гл. III)
¦^-Л=2Л25; 4-6 = Л2С (2.7)
и условиям
Л (0) = Е- 6 (Т) = Л (Т) 6 (0). (2.8)
Матрица Л является симплектической: AS Л = S (см. (5.33) гл. III), а
интегралы движения (2.4) подчиняются каноническим коммутационным
соотношениям
11% (0, /в (01 = -Я*"- (2-9)
В силу условий периодичности (2.2) гамильтониана Ж, матрица Л
удовлетворяет соотношению
Л (t + Т) = А (Т) A (t). (2.10)
Матрица Л (Т) в математической литературе называется матрицей монодромии
[157]. Она определяет спектр КЭ системы. Очевидно, что ввиду (2.8) и
(2.10) интегралы движения Д связаны соотношением
I (t+T) = А (Т) I (t). (2.11)
Отметим, что если среди решений б (t) системы (2.5) не существует
решения, удовлетворяющего условию (2.6), то среди решений уравнения
Шредингера нет КЭС. Это означает, что квантовая система находится в
резонансных условиях, когда существен учет в гамильтониане системы наряду
с квадратичными и ангармонических членов. Для нахождения спектра КЭ
исследуем теоретикогрупповую структуру преобразования Л (Т).
Совершенно очевидно, что выбором подходящего симплекти-ческого
преобразования / матрицу монодромии Д (71) можно привести к некоторой
стандартной форме А' (Т):
А {Т) = IA' {Т) Г1, (2.12)
,141
В случае комплексных симплектических преобразований I в качестве Л' (Т)
можно взять жорданову форму матрицы Л (Т). Преобразование (2.12) по
матрице Л (Т) определяет в симплекти-ческой группе класс сопряженных
элементов Л' = /_1Л (Т) I, когда I пробегает всю группу Sp (2TV, R).
Рассмотрим простейший случай, когда матрица Л (Т) может быть приведена к
диагональному виду с помощью, вообще говоря, комплексного
симплектического преобразования I. Тогда матрица Л (Т) сопряжена элементу
некоторой картановской подгруппы в Sp (2N, R). В работе [192] были
найдены все картанов-ские подалгебры вещественных полупростых алгебр Ли.
Для группы Sp (2N, R) (тип с. 1) в [192] показано, что в случае четного N
имеется (N + 2)2/4 различных картановских подалгебр, а в случае N
нечетного - (N + 1) (N 4- 3)/4. Каждая картановская подгруппа A(Kij) =
ехр №к'1\ соответствующая картановской подалгебре Мк<1\ задается двумя
целыми числами К, I (К О, / > О, К + 21 N).
Ык> V:
блочный вид:
0 0 0 ак 0 0
0 Ъ1 0 0 0 0
0 0 с 0 0 0
- о х 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -Ъ1 0
0 0 0 0 0 - с
(2.13)
где блоки равны
*1 0 0
Л2 6(2)
о-к - ; Ьг = .
0 hK 0 >>
К+21+1
h
О
Х+2?+2
О
ьм =
'х+г+г
'Х+г
- /г
Х+г
'Х+г+г
ht - вещественные числа (i = 1, 2, ..., N).
Матрица A(k,i> = ехр А<к'г) имеет 2К собственных значений вида %m - e±lhт
(т~ 1, 2, ..., К), лежащих на единичной окружности; 2 (N - К - 21)
вещественных собственных значений
вида Kj = e±hi (К -]- 21 + 1 N) и 4/ комплексных собствен-
ных значений вида Kr = ехр {±ihK+r ± ^х+г+r) (г = 1, 2, ..., I). Таким
образом, в случае, когда все собственные значения матрицы Л (Т) различны,
можно преобразованием (2.12) привести
142
матрицу А (7) к стандартному виду:
Л' (Т) = /д Л (Т) /л - ехр й<к. О, (2.14)
где А<к'г) дается (2.13), причем матрица 1\ определена с
точностью
до правого множителя Л(к,1)( который является произвольным
элементомкартановскойподгруппыЛ(К1;)=ехр hiK'l\ определяющей симметрию
задачи.
§ 3. Линейное каноническое преобразование
Рассмотрим линейное неоднородное преобразование от канонических импульсов
р и координат q к новым канонически- сопряженным импульсам р и
координатам q вида Q = IQ + <1, т. е.
ДН; !:!(|Х). 0.1,
где I - вещественная симплектическая матрица размером 2N X 2N, d= [д1'} -
вещественный 2А-мерный вектор. В силу условия симплектичности матрицы I:
Ж-Ъ, где
преобразование (3.1) оказывается каноническим, т. е. сохраняющим
коммутационные соотношения
[рг, Pi} = Ui, qj\ = о,' [p., pjl = lb, qjl = 0; 2
[р"> Ы = - [Рь = -i&u (i = 1, 2, . . . , IV).
Подставляя (3.1) в (3.2), получаем соотношения между матрицами являющиеся
следствием симплектичности I:
11/4 - Z2Z3 = Eyt Z3Z4 - Z4^3^ Z1/2 = Z2Z1J Z4/1 - Z3Z2 - P'/v- (^'^)
