Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
линейные инварианты, мы будем получать адиабатические линейные
инварианты. В случае общей квантовой системы с п степенями свободы мы
имеем 2п точных инвариантов, отвечающих начальным точкам траектории в
фазовом пространстве х\п = UxU~x и pin = UpU~x, где U - оператор эволюции
(или функция Грина) - зависит от медленно меняющихся параметров квантовой
системы. Разлагая функцию Грина по параметру адиабатичности, как это
делалось для обсуждаемых систем, мы будем получать соответствующие
адиабатические инварианты. Их физический смысл легко понять с помощью
решений классических уравнений Гамильтона - Якоби (Qo,Po, t, X(t)),pi
(q0, pa, t, % (t)). Пусть эти соотношения разрешены относительно
начальной точки в фазовом пространстве. Тогда интегралы движения q0, Ро
зависят от величину (t), p(t) и параметра % (t). Точная траектория,
начинающаяся в точке (q0, Ра), может быть аппроксимирована приближенной
траекторией, причем эти траектории совпадают друг с другом при стремлении
параметра адиабатичности к нулю. Сказанное, разумеется, относится и к тем
случаям, когда гамильтониан квантовой или классической системы зависит от
нескольких переменных параметров, причем один из параметров меняется
медленно. Тогда переходы между построенными в § 1 данной главы
состояниями | п, ty при стремлении параметра адиабатичности к нулю
определяются [/-матрицей такой, что Umn = 8т". Таким образом, существуют
2N адиабатических инвариантов, отвечающих точным инвариантам - начальным
точкам траектории в фазовом пространстве. Другие адиабатические
инварианты, например квадратичные (типа Е!со), строятся разложением
точных, квадратичных по параметру адиабатичности инвариантов. Линейные
адиабатические инварианты связаны поэтому с когерентными состояниями
квантовых систем, также строящихся как собственные функции точных
инвариантов - начальных точек (q0i, Ра)•
Глава V
Спектр квазиэнергий квадратичных систем
§ 1. Квазиэнергия и квазиэнергетичезкие состояния квантовых систем с
периодически изменяющимися параметрами
Рассмотрим систему, гамильтониан которой является периодической функцией
времени: Ж (t-\-T) = Ж (t). Примерами таких систем являются стационарные
системы, взаимодействующие с сильным периодическим внешним полем, как,
например, атомы, молекулы, кристаллы в поле лазерного излучения. Волновые
функции Y нестационарной системы удовлетворяют уравнению Шредингера
(l.i)
Оператор эволюции U (t) этого уравнения - временная функция Грина -
является решением операторного уравнения с начальным условием U (0) = Е:
th ~ = Жи. (1.2)
В силу периодичности по времени гамильтониана Ж система обладает
дискретной группой симметрии, состоящей из преобразований вида t -> t ~h
пТ, п = 0, ±1, ±2, ...
Периодичность гамильтониана (1.1) приводит к соотношению
U (t + Т) = U (t) U (Т). (1.3)
Ясно, что с помощью оператора эволюции U (t) можно построить
представление этой дискретной группы, причем сдвигу t -> t + пТ будет
отвечать оператор U (пТ). Из (1.3) следует, что произведению двух сдвигов
t -> t + пТ и t -> t -f- тпТ отвечает снова сдвиг t -> t + (m + п) Т, т.
е.
U (пТ) U (тпТ) = U ((m + п) Т). (1.4)
Оператор U (Т) является образующей этой дискретной группы: U (пТ) - [U
(Т)]л, и в математической литературе [157] U (Т) называется оператором
монодромии.
В работе Никишова и Ритуса [158] были построены для релятивистской
заряженной частицы, движущейся в поле плоской волны,
137
Волновые функции, обладающие определенным четырехмерпЫМ квазиимпульсом,
четвертая компонента которого была названа квазиэнергией. Волновые
функции с определенной квазиэнергией использовались в работе [159] при
рассмотрении процесса ионизации атома сильным периодическим полем.
В работах Зельдовича [160] и Ритуса [161] был выделен важный класс
решений уравнения (1.1), названный квазиэнергетическими состояниями
(КЭС). Волновые функции КЭС являются решениями
(1.1) и, кроме того, удовлетворяют условию
'?г(1 + Т) = (1.5)
Величина е, входящая в (1.5), называется квазиэнергией (КЭ). Она
определена с точностью до целого числа колебательных квантов е + phQ, ?1
= 2л/Т, р = 0, +1, +2, ... В случае стационарного гамильтониана (период Т
произволен) решениями (1.5) являются стационарные состояния. Спектр КЭ
переходит в энергетический спектр стационарной системы при Т -> оо, т. е.
при Q -> 0.
В случае систем с конечным числом уровней уравнение Шредингера
превращается в систему линейных дифференциальных уравнений с
периодическими коэффициентами и спектр КЭ определяется с помощью
собственных значений унитарной матрицы монодромии U (Т). Стационарные
системы, обладающие близкими уровнями, например мультиплеты тонкой и
сверхтонкой структуры в атомах, вращательно-колебательные спектры молекул
[162- 167], системы со случайным вырождением, такие, как атом водорода
[168-170], и другие, взаимодействующие с сильным периодическим внешним
полем, обычно аппроксимируются моделью с конечным числом уровней.
