Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Можно прийти к этому заключению, если разложить вероятность W(tm)n*2 в ряд
по параметру R (в последующих формулах mt nh i = 1, 2, и Lz 0):
= 1 - (2тг1П2 + ni + n2 + i)R + О (R). (4.17)
57
Можно записать также при т; -> оо следующее выражение для этой
вероятности:
П1П2 -
= "11Й''[(тГ-я1)!]а [1_ ('1 + "1+ Па+ 4) Л+...].(4.18)
Для высоковозбужденных состояний (n^^R 1) асимптотиче-
ское выражение (4.17) несправедливо. Для пъ п2 -*¦ оо (при фиксированном
Lz) можно использовать асимптотику полиномов Якоби [88] и получить
тт/пчт, ^ гаД тг! Уг В ctg 9 . т /Д/Ш2 (A lQ'i
1Пг ~ л,! л2! iV2(mi-n'> > (4ЛУ/
где N = У2 (m2 + + 1); sin2 (0/2) = Я; Jmv.ni - функция
Бесселя. В асимптотических выражениях (4.17)-(4.19) угловой момент
фиксирован и мал по сравнению с п2 и тп2. Для больших и положительных Ьг
имеем
и'""1 - ""•¦"¦и - *>V1 [< - +°(^?)
(4.20)
Эта формула неверна, если R -> 0. Из теории полиномов Якоби, в частности
касающейся нулей этих полиномов, следует, что число нулей в вероятности
перехода (Щ в интервале
0 <; R < 1 равно наименьшему из чисел пг, п2 и mv тп2.
Все описанные результаты можно легко обобщить на случай заряженной
частицы с переменной массой. Волновое уравнение для частицы с зависящей
от времени массой может быть сведено к уравнению для частицы с постоянной
массой следующей заменой переменных:
Здесь t - время, t' - новая переменная.
Затем рассматривается заряженная частица массы М0, заряда е, движущаяся в
электромагнитном поле с потенциалами
А' =¦, A (t (О); ф' = M0\t (О) ф (t (О).
Таким образом, все предыдущие результаты справедливы и относятся к этим
новым потенциалам. Случай частицы переменной массы М (t), движущейся в
постоянном магнитном поле Н и при Ф = 0, очень прост. Легко проверить,
что решение волнового уравнения в этом случае имеет вид
| пг, п2; t} = ехр [iani (t)] | пг, n2>, (4.22)
где am = - ("!-(- -g-j и I ni> n*2 - собственные функ-
ции гамильтониана Ж и ^оператора Lz для частицы с постоянной массой М0 в
постоянном магнитном поле Н. Эффект переменной массы сводится в этом
случае к фазовому множителю.
§ 5. Когерентные состояния и возбуждение электрическим полем заряжеввой
частицы в постоянном магнитном поле
Методом, развитым в предыдущих параграфах, можно решить практически
интересную задачу о переходах между уровнями энергии Ландау под влиянием
не переменного магнитного поля, а переменного электрического поля.
Целью данного параграфа является нахождение всех независимых интегралов
движения для заряда, движущегося в постоянном во времени и однородном в
пространстве магнитном поле и перпендикулярном ему переменном однородном
электрическом поле, введение когерентных состояний для этой системы и
вычисление в замкнутом виде функции Грина. Для случая переменного
электрического поля, равного нулю в далеком прошлом и далеком будущем, в
замкнутом виде вычисляются амплитуды переходов между когерентными
состояниями, а также амплитуды переходов между уровнями Ландау,
выражающиеся через полиномы Лагерра.
Рассмотрим квантовую заряженную частицу, движущуюся в постоянном
магнитном поле Н, направленном по оси я, и электрическом поле с
компонентами Ех = Е1 (t), Еу = Е2 (t), Ez = О, причем будем для простоты
считать массу и заряд частицы равными единице. Движение такой частицы в
плоскости х, у будет описываться волновой функцией *F (х, у, t),
удовлетворяющей уравнению Шредингера (Н = с = 1)
.дУ 1 / 52<Р 92<Р \ . ш2 , о . ^ .
l1F = -irh^+l^)+Tr(* +2/)^ +
,i(0/ S'? дУ \ . г /с лч
'^~2'\Х~ду У~дх! ~ (^1^+ Е*У) (5-1)
где калибровка выбрана так, что А = [Н X г 12], а частота со = = Н.
Введем новые переменные, что эквивалентно переходу к движущейся системе
координат:
E,-*-±i2exp("f-); ?. = !^ ехр (--?¦). (5.2)
Уравнение (5.1) перепишется в виде
г4г= -a^ + irl^l'2lF+(^ + /7^)Y' <5-3>
59
где величина F = 2~'l* (Ег + iEt) ехр (Ш/2). Легко непосредственной
проверкой показать, что линейные неэрмитовы операторы
л = уг'"т [/? "+W + УТ(зрг "•)]; .
* - - 7Г['/тг "* + "> + /т (с+ Ч) ]
являются интегралами движения (коммутируют с оператором idldt - Ж) и
удовлетворяют коммутационным соотношениям бозонных операторов рождения и
уничтожения [А, АЦ = [В, ВЦ = = 1; [А, В] = [А, ВЦ = 0. Комплексная
величина ?" удовлетворяет классическому уравнению движения
to + соа?0/4 = F. (5.5)
В случае равного нулю электрического поля (Е = 0) операторы (5.4)
переходят в операторы, построенные в [69, 72].
Проверкой нетрудно убедиться, что унитарный оператор
г 1
D = ехр i jj (~-ы21 ?"12 - | to |2) dx - i (Й* ?*?о) exp (?" ц+ l*0 щ;)
(5.6)
связывает решение Т0 задачи для заряда, движущегося в постоянном
магнитном поле без электрического поля, с решением уравнений (5.1) и
(5.3), так что VF = DY0. Поэтому легко перенести все результаты,
полученные для заряда в постоянном магнитном поле, на рассматриваемый
случай. Построим когерентное состояние, являющееся решением уравнений
(5.1), (5.3):
| а,
= Y-J^exp {_ " (| ? |* + | ?012) - (i t* So*) S - ("So + ySo) ?* -_ tot _
