Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ш(tm)! + т2 + | т1- т2|)]!
x(^fi) 4mi-m!l(5), (6.16)
где p = V2 (Щ + m2 - \m1 - m2 |); s = (|т])_1 (a - ба)(р - - 6b);
l)pm'~mi '(s) - обобщенный полином Лагерра, а амплитуда <0, 0; f | a, P;
in) задается формулой (6.13).
Полученные результаты легко переносятся на случай заряженного
осциллятора, имеющего равные переменные частоты колебаний Q (0 по осям х
и у и частоту колебаний по. оси z, равную м3 (if.), и движущегося в
однородных нолях А = V2 [if X г]; ф = = - Е (t)r; Е (t) = (Ех (t), Е2
(t), Е3 (t)). Волновая функция
•70
разбивается при этом на произведение двух функций Yj (х, у, t) х X Y2 (z,
t). Функция, зависящая от переменных х ж у, удовлетворяет уравнению
i 45Г = - W + 1 ^ (¦?¦ + Q2) Tl + + E*Q (6-'17)
где ? дается формулой (6.2). Уравнение (6.17) сводится к уравнению (6.1)
заменой м(?) -> (/) + 4Q2 (?). Функция Y2 (z, ?),
описывающая движение осциллятора вдоль магнитного поля, удовлетворяет
уравнению Шредингера для осциллятора с переменной частотой ю3 (t),
движущегося под действием вынуждающей силы, решенному выше. Амплитуды
перехода, аналогичные (6.15), при этом факторизуются и выражаются через
произведения полиномов Эрмита от двух и четырех переменных.
Таким образом, полностью решена общая задача о построении точных решений,
когерентных состояний, функции Грина и амплитуд перехода для задачи о
заряженном осцилляторе с переменной частотой в переменных электрическом и
магнитном полях.
Глава III
Инварианты и функция Грина динамических систем
§ 1. Инварианты (интегралы движения)
В предыдущей главе мы рассмотрели некоторые конкретные физические задачи;
при этом выяснилось, что для различных квантовых систем имеет смысл
проводить исследование по некоторой единой схеме. Так, и для осциллятора,
и для заряда в магнитном поле мы находили сперва интегралы движения,
причем найденные интегралы движения подбирались таким образом, чтобы
удовлетворялись бозонные коммутационные соотношения. Важно, что в
рассмотренных задачах интегралы движения находились в явном виде через
операторы координат и импульсов. Затем строились решения уравнения
Шредингера (когерентные состояния) с помощью интегралов движения и
находилась функция Грина - тем самым получалось полное решение задачи. В
настоящей главе мы покажем, что применявшаяся для обсужденных задач схема
полезна и может использоваться для произвольных квантовых систем.
Ключевым моментом при этом является наличие у произвольных динамических
систем интегралов движения, с помощью которых проводится все
рассмотрение. Обсудим поэтому в настоящем параграфе свойства инвариантов,
или интегралов движения, а также рассмотрим вопрос, сколькими
инвариантами может обладать квантовая система. Иногда по этому вопросу
имеются разночтения и различная трактовка. Очень важным моментом в нашем
рассмотрении служит предположение, что у обсуждаемой квантовой системы
при всех временах t 0 имеется оператор эволюции U (t) такой, что
существуют С/-1 (t) и (t) и имеет место условие унитарности UU^ = 1. Мы
считаем, таким образом, что ядро оператора эволюции (функция Грина или
амплитуда перехода) существует для рассматриваемой системы. Это очень
широкий класс квантовых систем. Практически квантовая механика только
такие системы и рассматривает, поскольку описание квантовой системы на
языке функций Грина эквивалентно описанию на языке волновых функций T (t)
= U (г)1? (0) и существование оператора эволюции эквивалентно
существованию волновой функции.
Если у квантовой системы существует оператор эволюции U, то можно
построить 2N (где N - число степеней свободы систе-
72
мы) интегралов движения q0 и р0 по следующим формулам:
Q'o = UxU~x\ рй = - itiU ^U"1. (1.1)
(Эти формулы являются определением операторов д0 и р0.) Действительно,
главным свойством операторов (интегралов движения) является то, что
среднее от них не зависит от времени. Если вычислить среднее от оператора
q0 по состоянию Y (t = 0) = в начальный момент времени, мы получим
<ffo>(~o=<4ro|au|'F0>, (1.2)
т. е. среднее значение координаты в начальный момент времени. Вычислив
среднее от оператора д0в момент времени t, получим
<Qo)t = <Т( | g" | Т(> = <?/?" | UxU-11 U4T">. (1.3)
Учитывая унитарность оператора эволюции и свойства средних в формализме
Дирака, имеем
<Qo>t = <ЧГ0\и*ихи-ги\ Т0> = <д")0. (1.4)
Таким образом, физический смысл оператора д0 состоит в том, что он
описывает начальную координату системы. Аналогично, физический смысл
оператора - инварианта р0 - состоит в том, что он описывает сохраняющееся
значение начального среднего импульса системы. По теореме Стоуна - фон
Неймана 2N операторов д0 и ро образуют полный набор. Их коммутационные
соотношения совпадают с коммутационными соотношениями оператора координат
х и импульсов - iH dldx. Любая функция от операторов д0 и р" является
интегралом движения. Поэтому можно образовывать различные алгебраические
выражения от операторов д0 и р0 с удобными коммутационными соотношениями,
