Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
состояние j in> и конечное состояние | f>, дается матричным элементом
где | t -*¦ оо> есть предел при t -*¦ оо состояния | ?>, которое имеет в
качестве своего предельного состояния при отрицательных временах t <у 0
начальное состояние | in>. Можно выбрать такие начальные условия для
решений уравнений (1.3) или (1.5), чтобы иметь корректные предельные
значения при стремлении t -> оо для когерентного состояния | а, ?> и
фоковского состо-
на G:
N
G (х2, ?2, агь ti) = Д (2ni sin ук \ ек (tL) е* (t2) |) '"'2 х
X ехр - i(siny;f) 1 + ct.g (<?l,а+<?щ) +
(1.17)
Здесь yk = ^ | Ek I-2 df, = 4c | ek (tlt2) |_1, а
вектор x являет-
и
Т[а = <f | г oo>,
(1.18)
41
яния | п, ty, т. е.
ек (- °°) = (&кп)~'/г ехр (iQlcnt); ек (- оо) = i (Q(tm))1^ ехр (iQjff).
(1.19)
Такой выбор начальных условий приводит к следующим предельным выражениям
для интегралов движения A^t):
Тогда очевидно, что состояния | а, - оо> и п, - оо> будут совпадать с
начальными состояниями | a, in> и п, in>, построенными с помощью
операторов (интегралов движения для стационарного осциллятора) по тем же
формулам, по каким строились состояния | a, ty и | п, ty с помощью
операторов A^t).
Приведем явные выражения для начальных состояний | a, in> и | п, in>,
относящихся к предельному случаю начальных час-
Эти состояния опять являются произведениями соответствующих состояний для
одномерных осцилляторов. Конечные состояния | у, iy и | т, iy даются теми
же формулами' (1.21) и (1.22) с соот-
осциллятора с зависящей от времени частотой описывают максимально
классическое состояние в том же смысле, что и когерентные состояния
стационарного гармонического квантового осциллятора с постоянной
частотой.
В предыдущих параграфах обсуждался физический смысл соб-
" in л in т
ственных значении операторов А% при заданном к\ модуль | а}; | определяет
классическую амплитуду колебаний в фазовой плоскости переменных (р1!,
хк), а фаза ф(ак) комплексного числа а,г является классической фазой
колебаний рассматриваемого осциллятора. Классическое движение в фазовой
плоскости переменных (рц (2Й")_1/2, a:ft(Qfcn/2)'/J) является движением
по окружности с радиусом | щ |. Поскольку оператор At(t) есть интеграл
движения, то его собственные значения а^ в состоянии | a, ty связаны с
координатами начальной точки фазовой плоскости, откуда
ветствующей подстановкой Й^п -й?. Когерентные состояния для
42
началось классическое движение. Естественно, для переменной частоты Qfc
(t) это движение более сложно, чем движение по окружности, но если ввести
зависящие от времени координаты
х'ъ = хк (I ek I 2'АГ1; Р* = 2"'/2 (Р* I eJ - x*d Iе* №)'
то из соотношения (1.3) очевидно, что в новых переменных мы опять имеем
окружность радиуса | as |. Для iV-мерного осциллятора фазовое
пространство является ЗЖ-мерным, и в зависящих от времени координатах
хц,рц, к = 1, . . ., N, мы будем иметь классическое движение по 2А-мерной
сфере с радиусом | а |. Начальная точка этого движения определяется 2N
действительными числами, и имеется N комплексных интегралов движения а,ц,
к = = 1, . . -,N,- собственных значений несамосопряженных интегралов
движения A^(t).
§ 2. Амплитуды перехода в нестационарном осцилляторе
Обратимся теперь к расчету амплитуд перехода (1.18). Для такого расчета
необходимо выразить операторы Ац(?) через конечные операторы А\,
относящиеся к постоянным частотам Qj?. Имеем
AM = Ut)A[ + гk(*)(4)l. (2.1)
Здесь зависящие от времени комплексные функции (t) и цД^) следующим
образом выражаются через функцию e^t) и ее производную ek(t):
h(t) = 4ге (t)(p.lT'h];
* (2.2)
1* (0 = [в* (t) (й?)'/2 + ie, (t) (Q^)-1^].
Коммутационные соотношения (1.4) приводят к ограничению
IS* |а - h* i2 = 1, (2-3)
которое, как можно убедиться прямой проверкой, удовлетворяется. Общее
решение уравнений (1.3) в пределе t оо для постоянных частот может быть
записано в виде
ег* = (0?)~,/! ?*е10"' - (П'.ГЧ^* • (2.4)
Здесь комплексные числа и являются константами. Следовательно, амплитуды
перехода, которые мы хотим найти, полностью определяются этими
константами ^ и % (поскольку решение волнового уравнения выражено через
функции е,к (())¦ Удобно ввести также компактный (0ft) и некомпактный
(8ц) параметры с помощью следующих формул:
cos 0* = 1 - 2 | r)S/|* | 2; ch 6k = | | 2 + | rift | 2. (2.5)
43
В случае одномерного осциллятора с зависящей от времени частотой
некомпактный параметр 6^ использовался в работе [72]. Решения | a, t} и
\п, t)> для ^-мерного осциллятора являются произведениями соответствующих
решений для одномерного осциллятора, поэтому амплитуды переходов для
Димерного нестационарного осциллятора являются произведениями
соответствующих амплитуд для одномерных осцилляторов.
Амплитуды переходов между различными энергетическими состояниями для
одномерного квантового осциллятора были получены Хусими [85]. Выведем
формулы для амплитуд переходов между когерентными состояниями. (Заметим,
что, по существу, эти формулы содержатся в работе [85], где строится
