Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
центр окружности, по которой происходит классическое движение, а оператор
А (величина а) задает начальные координаты движения вокруг этого центра.
Квадратичные интегралы А^А иЖЛ - А^А задают энергию и угловой момент в
движущейся системе координат. Смысл этих операторов для случая
переменного электрического поля аналогичен, с той разницей, что движение
системы координат происходит не с постоянной скоростью.
Пусть до нулевого момента времени существовало только постоянное
магнитное поле. В нулевой момент включается переменное электрическое
поле, и при очень больших временах это поле выключается. В начальный
момент существуют когерентные состояния | ос, Р; in). При очень больших
временах существуют когерентные состояния, являющиеся собственными для
операторов А, В, в которых g0 положено равным нулю. Легко сосчитать
амплитуду перехода между этими когерентными состояниями:
<р, v; f | ос, Р; in) = <0, 0; f | 0, 0; in) X
X ехр [- J/2 (| ос |2 + | p |2 -f | (i |2 + | v |2) + ocp* + |3v* +
+ p*oc - op - pp.* + o*v*];
t
<0, 0; f | 0, 0; in) = exp[- -L (| о |2 + | p |2) + ~ (Ft,* + F%0) df] i
0
(5.11)
t оо
I* (*) = -!- 5 F (T)sin -~L2-)- dx; a = -^=\jF( t) dx;
0
oo
p I' F (t) eiwT/2 dx.
У со J
о
о
Здесь комплексные константы p, о являются величинами, задающими
асимптотику функции ?" (t) при больших временах (?-> оо): и = со-1/* [о
ехр \mtl2) - ?р ехр (-гсЩ/2)]. Поскольку задано когерентное состояние
|<х, Р; in) = exp[--i(|<x|2 + |Р|2)] ^ JLlLL/nlt яа; in)
ni, n2=0 *' 2
и когерентное состояние
|p,v; f> = exp[-l(|p|2 + lvP)] ?
mi, тл2==0
легко сосчитать амплитуды перехода между состояниями с задан-
63
ными энергией и моментом:
(ти т%\ f | /гь re2; in) = <0, 0; f | 0, 0; in) (milmalrejrej!)*/* X
х (g'llg'z!)-1 (- p/p*)mi-ni | p |l mi-ni I/2 (cT*/cr)m"-n21 о |i т*-пг
1/2 ^
Pi = V2 ("i + mi - | ni - mi I); P2 = V2 (n2 + m2\n2 - m2 I); ?i = Va ("j
+ ml + | /ij - m1 I); q2 = V2 (n2 + m2 + [ n2 - m2 |).
§ 6. Когерентные состояния и функция Грина осциллятора с переменной
частотой в произвольно направленных, переменных, однородных электрическом
и магнитном полях соленоида
В настоящем параграфе будет рассмотрена более общая система, чем в
предыдущем, причем рассмотрение будет вестись по той же схеме.
Цель настоящего параграфа состоит в нахождении всех независимых линейных
интегралов движения для нерелятивистской заряженной частицы, движущейся в
произвольно зависящих от времени электрическом и магнитном полях,
удовлетворяющих условию квазистационарности, а также в получении точного
решения уравнения Шредингера этой задачи, являющегося обобщением на
случай переменных полей решения Ландау для заряда в постоянном однородном
магнитном поле. В этом параграфе вводятся когерентные состояния для
рассматриваемой задачи и вычисляется с их помощью функция Грина в явном
виде. Для случая электрического и магнитного полей таких, что в далеком
прошлом и далеком будущем магнитное поле постоянно, а электрическое поле
равно нулю, вычисляются точно (не по теории возмущений) амплитуды
переходов между уровнями с заданными энергией и моментом, которые
выражаются через полиномы Эрмита от четырех переменных. Вычисляются
амплитуды переходов между когерентными состояниями. Решается полностью
задача о заряженном осцилляторе, находящемся в переменных однородных
электрическом и магнитном полях.
Для простоты сначала рассмотрим не осциллятор, а свободный заряд в
электромагнитном поле.
Уравнение Шредингера для задачи о заряженной частице, движущейся в
переменном электромагнитном поле, имеет вид такой же, как и (5.1):
х/4ГР,(|р|2)^ГР!(|ст|2), (5.12)
где
dt
(6.1)
64
Выбрана система единиц, в которой И = с = 1, а заряд и масса для простоты
положены равными единице. Внешнее электромагнитное поле задается
потенциалами
где Н (t) = (0, 0, со (t)); Е (t) = (Ег (t), Ег (t), 0). Для
прос-
тоты рассматривается случай ЕН = 0.
Для постоянных потенциалов уравнение (6.1) описывает движение частицы в
скрещенных постоянных полях. Задача о частице со спином, движущейся в
рассматриваемых полях, сводится к решению уравнения (6.1) заменой
компонент волновой функции
отвечающих состояниям с заданными проекциями спина sz на магнитное поле.
В уравнении (6.1) учтена часть волновой функции, зависящая от переменных
х, у, поскольку движение вдоль магнитного поля является свободным.
Выбранные потенциалы полей удовлетворяют уравнениям Максвелла в
приближении квазиста-ционарных полей.
Введем переменные ? (t), отвечающие переходу в движущуюся систему
координат [69]:
Уравнение (6.1) принимает в этих переменных вид (5.3), где введена
комплексная сила
Как отмечалось, можно найти интегралы движения способом, использованным
выше. Непосредственной проверкой легко убедиться, что операторы
являются интегралами движения (коммутируют с оператором Ж - id/dt). Здесь
зависящие от времени функции е (t), ?0 (t) - решения уравнений
А = VztiTxr]; ф = - E(t)r,
0
?(t) = -2 Чг (х + iy) ехр ~y ^ со (т) dx . (6.2)
