Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
эффектами частицы пре-небрегается.
Этот результат подсказывает следующий постулат: в любом римановом
пространстве-времени с метрикой (4.102), представляющем распределение
вещества, времяподобная геодезическая линия представляет историю движения
частицы (с пренебрежимо малым собственным тяготением) в гравитационном
поле этого распределения вещества. Поэтому уравне-
§ 4.3. Принцип геодезических линий
111
ния геодезической линии, записанные в римановых координатах § 2.6,
которые локально применимы вблизи любой точки-события, принимают вид
lljr = ° <"=1.2, 3,4);
движение частицы локально совпадает с движением частицы, подчиняющейся
первому закону Ньютона, и применимы результаты § 3.7, относящиеся только
к времяподобным геодезическим линиям. Выражаясь физически, можно сказать,
что эти локальные римановы координаты образуют систему, которая свободно
падает в поле тяготения заданного распределения вещества вблизи
рассматриваемой точки-события. Для общей координатной системы (лг), в
которой метрика риманова пространства-времени имеет форму (4.102), мы
определим 4-вектор скорости частицы по аналогии со случаем пространства-
времени Минковского как в § 3.7. Если dx°/ds (а = 1, 2, 3, 4) -
компоненты единичного тангенциального вектора геодезической линии,
представляющей движение частицы, то 4-вектор скорости частицы имеет вид
v = -^- (о= 1, 2, 3, 4), (4.306)
и этот вектор, будучи единичным, должен удовлетворять, в силу (2.213),
соотношению
?^V=1. (4.307)
Историю движения светового луча мы представим нулевой геодезической
линией риманова пространства-времени. Это очевидное обобщение
соответствующего результата для пространства-времени Минковского, если
предположить, что результаты § 3.7 справедливы в римановых координатах.
Представление истории движения малых пробных частиц и световых лучей
соответственно с помощью времяподобных и нулевых геодезических линий
представляет собой принцип геодезических линий.
Согласно сказанному выше, принцип геодезических линий предполагает, что
распределение вещества дается тензором энергии, соответствующее риманово
пространство-время определяется при помощи уравнения Эйнштейна и сама
частица ничего не вносит в распределение, под воздействием тяготения
которого она движется. Однако саму малую частицу
112 Глава IV. Принципы общей теории относительности
можно рассматривать как предел некоторого распределения вещества, когда
объем, занимаемый этим распределением, стремится к нулю. Возникает
следующий вопрос: если рассматриваемое распределение само состоит из двух
или более частиц и представляется некоторым тензором энергии, то можно ли
найти соответствующее риманово пространство-время с помощью уравнений
Эйнштейна и показать, опираясь на эти уравнения, что движение каждой из
частиц представляется времяподобной геодезической линией? На этот вопрос
можно ответить положительно [1] для специального случая, когда уравнения
Эйнштейна сводятся к (4.111), за исключением (предельной) области,
занимаемой частицей. Это означает, что пространство-время представляет
распределение вещества, состоящего из дискретных "комков", разделенных
пустыми областями.
Однако в приложениях общей теории относительности к космологии, где
рассматривается непрерывное распределение вещества, требуется нечто
большее. На данном этапе развития теории поэтому лучше рассматривать
принцип геодезических линий как независящий от уравнений Эйнштейна,
отметив, что в некоторых случаях этот принцип может быть выведен из
уравнений Эйнштейна.
§ 4.4. Ортогональное пространство-время и уравнения Эйнштейна
Имеются некоторые качественные соображения, помогающие определить
риманово пространство-время, представляющее распределение вещества.
Например, если распределение симметрично относительно некоторой точки в
пространстве, то метрические коэффициенты тоже будут обладать симметрией
относительно этой точки. Распределение может также не зависеть от одной
координаты, так что свойства вещества будут одинаковы в каждой точке
семейства плоскостей, перпендикулярных к заданному направлению. Может
иметь место также осевая симметрия, при которой вещество имеет одинаковые
свойства на поверхностях коаксиальных цилиндров. В каждом из этих случаев
метрические коэффициенты будут обладать соответствующими свойствами
симметрии.
В дополнение к указанным упрощениям исследования в общей теории
относительности обычно, хотя и не всегда,
§ 4.4 Ортогональное пространство-время 113
связаны с постулатом, что рассматриваемое риманово пространство-время
относится к такому типу, который допускает ортогональные координатные
системы. Это ограничение добавляется для того, чтобы избежать усложнений
уравнений Эйнштейна в неортогональном случае. Дингль [2] получил в явном
виде уравнения Эйнштейна для общего ортогонального случая, в котором
метрика имеет вид
ds2 = D (dx*f - A (dx1)2 - В (dx2)2 - С (dx3)2, (4.401)
где D, -А, -В, -С - метрические коэффициенты, являющиеся функциями всех
