Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
есть v'; здесь, полагая в равенстве (4.601) хv = х^, имеем
vH4f)0 = r°' (а - 2, 3, 4), (4.603)
и, в силу равенств (4.307) и (4.226),
7 = 1
Если теперь пространственная точка все время остается в покое
относительно координатной системы (л:), то v7 =0 (У =1, 2, 3) и
(1- хф0)^)2=1.
Поэтому уравнения (4.602) принимают вид ( d2xa \ ( о
124 Глава IV. Принципы общей теории относительности
или, используя в формуле (4.226) формулы Дингля (4.402),
Первое из этих равенств показывает, что с рассматриваемой точностью х4
совпадает с s в точке-событии О, а остальные три уравнения указывают, что
пространственная точка (х', х2, x'^j подвержена гравитационному ускорению
поля, определенному функцией б. Так как точка-событие с координатами
(хJ*, xj, х^, х^ является началом римановой системы координат, отсюда
следует, что эта система координат свободно падает в поле тяготения.
Отметим также, что этот результат является следствием (4.602) и,
следовательно, мог бы быть также выведен с помощью (2.305) и (4.603);
другими словами, можно сказать, что начало римановых координат скреплено
с пробной частицей, находящейся в гравитационном поле.
Если риманову систему координат (у) можно отождествить с инерциальной
системой специальной теории относительности, поскольку уравнения
геодезической линии в начале координат системы (у) принимают форму
то отсюда следует, что системы (х) и (у) находятся в относительном
ускоренном движении. Поэтому иногда говорят, что сущность общей теории
относительности заключается в использовании систем координат, движущихся
ускоренно друг относительно друга, и что именно это является характерной
чертой, отличающей общую торию относительности от специальной. Это
утверждение, однако, вводит в заблуждение, так как ничто не мешает
исследователю использовать ускоренные координатные системы в самом
пространстве-времени Минковского, как показывает следующий
§ 4.6. Ускоренные координатные системы
125
пример. Пусть метрика пространства-времени Минковского имеет вид
в координатах (х4, лг1, х2, х3) инерциальной системы 5. Рассмотрим
систему А с координатами (t, х, у, z), где
а а и (3 - постоянные, размерность которых обратна размерности времени.
Беря дифференциалы равенств (4.605), имеем
так что метрика (4.604) может быть также записана в виде
Преобразование (4.605) не меняет, конечно, нулевой характер тензора
Римана - Кристоффеля пространства-времени Минковского, которое независимо
от того, какая из формул
(4.604) или (4.606) используется для метрики, остается плоским.
Поэтому тензор Риччи по-прежнему тождественно равен нулю, и то же
относится к тензору энергии, хотя метрические коэффициенты в (4.606) уже
не постоянны. Таким образом (4.606) не представляет какого-либо
распределения вещества, и, следовательно, поле тяготения отсутствует. Тем
з
ds2 - (dx4)2 -
{dx1)2
(4.604)
(4.605)
у = х2,
Z - X3,
dx4 + ^f. = ee(t+e)(dt+jZ-y
dx2 = dy, dx3 - dz,
(4.606)
126 Глава IV. Принципы общей теории относительности
не менее рассмотрим пробную частицу, 4-вектор скорости которой имеет
относительно системы А значения:
v4^=0, v^-g^^-g-^v4, v2 = v3=:0. (4.607)
Применяя уравнения геодезической линии (2.807) и (2.808) к метрике
(4.606), имеем
±1^Л\ _ " + W
ds
где
{Л4}---а~1>~{(v4)2-= 0¦ (4.608)
^="('+т)+Ч'-т)'
и
ex|(v4)2_i^ij=1. (4.609)
Первое из этих равенств может быть также записано в виде
^-+{|(а+Р)(а-Р)т+т(а+Р)|-}(^2=0' (4-61°)
Предположим, что пространственная скорость q пробной частицы мала по
сравнению с с, так что в формуле (4.610) члены q/с и q2jc2 пренебрежимо
малы. Тогда приближенный интеграл этого уравнения имеет вид
ж = >'={> +1<"+И
откуда
-1
a -f- р
и, следовательно,
in{l+y("+P)s}
v4 = е 2(c,+fi)<> (4.611)
Но теперь (3.609) можно представить в виде ех(\-^г)(А)2=1,
или, используя (4.611),
-(*-Р) 4- Я2
§ 4.6. Ускоренные координатные системы
127
Поэтому, дифференцируя по t, получаем ускорение пробной частицы
относительно системы координат А
cii~P) (4.612)
Однако скорость пробной частицы dx1/dx4 относительно инерциальной системы
5 постоянна, как показано в § 3.7, и, следовательно, ее ускорение
относительно этой системы равно нулю. Ускорение (4.612) в
действительности обусловлено выбором системы координат, движущейся с
ускорением относительно S и является произвольным, так как теория
пространства-времени Минковского не содержит методов, которые позволили
бы связать постоянные аире гравитационными эффектами распределения
вещества. Общая теория относительности, таким образом, представляет собой
нечто большее, чем использование ускоренных координатных систем J); эта
теория предусматривает связь с полями тяготения посредством не равного
нулю тензора Риччи, и уско-реннные системы появляются как второстепенная
черта этой связи.
') Мы вынуждены пользоваться в общей теории относительности ускоренными
системами отсчета, так как не существует системы отсчета, неускоренной во
всем пространстве-времени, что мы интерпретируем как появление поля
