Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство этого результата, однако, предполагает, что переход от
одной системы координат к другой определен преобразованиями Лоренца,-
утверждение, которое не справедливо (за исключением предельного
"локального" случая) для более сложного пространства-времени общей теории
относительности.
§ 3.8. Механика протяженных тел в специальной теории относительности.
Придание уравнениям математической физики формы, инвариантной
относительно преобразований Лоренца, встречается с рядом трудностей,
когда предпринимается попытка обобщения классической зависимости от
расстояния в законе тяготения или когда рассматривается модифицированное
определение твердого тела. Эти трудности проистекают из того, что в обоих
случаях необходимо найти аналог ньютоновского абсолютного расстояния
между двумя частицами в пространстве, который был бы инвариантен
относительно преобразования Лоренца. Рассмотрим инерциальную систему S
§ 3.8. Механика протяженных тел
95
и пусть две частицы являются одновременными событиями (л:4, х\, х\, xfy и
(х4, х12, х\, х*у
Тогда пространственное расстояние между этими двумя частицами равно I,
где
12=(*2-х1?+(х!-xiУ+(Х1-ХЬ2-
Но эти же два события описываются в системе S' как
/ /4 /1 А ,3\ / ,4 ,1 ,1 ,8\
, хх , хх , хх) я (х2 , х2 , х2 , х2 ); они уже не являются
одновременными и, в силу (3.602), I2 равно
12 = Р(х';-х1+их';-их[У+{х'2'-х?)'+(х'23-х'хУ= = ( 1 - ^г) (-*2 Х1 ) +
(Х2 Х1 ) + (-*2 Х1 ) =
Мы видим, что I, которое зависит только от пространственного расстояния
между частицами при использовании координат системы S, включает
относительную скорость двух систем при использовании координат системы
S'. Таким образом, если использовать I в релятивистской формулировке
закона всемирного тяготения, то необходимо будет устанавливать, какая из
инерциальных систем является "правильной" в противоречие со специальным
принципом относительности. Точно так же должна быть конкретизирована
частная инерциальная система координат, относительно которой частицы
твердого тела остаются на неизменном расстоянии друг от друга. Эта помеха
в проблеме тяготения была преодолена посредством общей теории
относительности; удовлетворительная релятивистская форма динамики
твердого тела все еще не найдена [3].
Эта проблема обобщения гораздо легче разрешается для случая идеальной
жидкости. Рассмотрим уравнения Ньютона
(3.202) и (3.203) в случае, когда единственной силой, действующей на
жидкость, является градиент давления жидкости, а именно
д? , ^(Р Uj)
дТ 1 dXj
• О,
AW+47(?alut+b,lP)^a.
(3.801)
96 Глава III. Ньютоновская мёхаНйка и теория otHOCureAbHoctu
Предположим, что в некоторой инерциальной системе специальной теории
относительности скорость жидкости в четырехмерной точке (jc4, jc1, х2,
х3) представлена единичным 4-вектором скорости иГ, который, таким
образом, удовлетворяет условию
з
gvJ?Ue = и\ = ("<)2 - - 2 = 1 * (3'802>
У-1
тогда как компоненты скорости жидкости являются тремя величинами
? (г'=1-2, 3).
з
Так как по-прежнему предполагается, что ф = 2 (Qt)2 < с2>
У"1
из (3.802) вытекает, что
1 - (3.803)
Четыре функции и* являются в общем случае функциями всех четырех
координат (л;), и, таким образом, движение жидкости является
нестационарным. Предположим далее, что жидкость характеризуется двумя
скалярами: плотностью р, выраженной в г • см~3, и изотропным давлением р,
выраженным в дн • см~2, и рассмотрим десять функций положения
^'Цр + т!-)^(3-804)
которые удовлетворяют четырем дифференциальным уравнениям
Л 74"
^-Г = 0. (3.805)
Из того, что и? является контравар.иантным 4-вектором, а р и р -
скалярами, следует, что 71|iV - контравариантный тензор 2-го ранга в
пространстве-времени Минковского, который, очевидно, является
симметричным. Этот тензор называется тензором энергии идеальной жидкости.
При использовании равенств (3.701) в формуле (3.804) и
отождествлении абсолютной скорости с с бесконечной
скоростью теории
Ньютона, компоненты Т^ сводятся к десяти величинам р,
§ 3.8. Механика протяженных тел
97
p(Jj и (pUtUj-j-bijp), встречающимся в ньютоновских уравнениях (3.801). С
другой стороны, преобразование Лоренца
(3.401) показывает,. что если с отождествляется с ??, то координата х4
(или д:/4) может быть отождествлена с абсолютным временем Т, а три
координаты х1 (или х'1) - с абсолютными декартовыми координатами Xt, 2Q,
использованными в (3.104). Поэтому четыре уравнения (3.805) сводятся к
уравнениям Ньютона (3.801) и могут рассматриваться как обобщение
уравнений (3.801) на случай специальной теории относительности. Более
того, уравнения (3.805) - тензорные уравнения, которые в терминологии §
2.4 утверждают, что векторная дивергенция тензора энергии тождественно
равна нулю, так как все символы Кристоффеля в случае метрики (3.601)
равны нулю.
Это обобщение, однако, вносит новый элемент во взаимосвязь плотности и
давления жидкости. Рассмотрим компоненту Г44 тензора энергии, которая, в
силу (3.701) и (3.803), может быть записана в виде
