Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
В ньютоновском случае члены 1/с2 равны нулю и эта компонента равна
плотности жидкости. Однако в релятивистском случае это имеет место в том
случае, если жидкость находится в покое относительно инерциальной системы
(q = 0). Плотность р может быть следовательно названа собственной
плотностью жидкости [1], тогда как выражение
(р + "§')(1 ~ ~^
является относительной плотностью. Если в ньютоновской гидродинамике
плотность и давление рассматриваются как независимые свойства жидкости,
то в специальной теории относительности это уже не имеет места. Эти
величины теперь "смешиваются", возможность чего подсказывается
размерностями р и p/с2, равными масса/(длина)3. Подобно тому как масса и
кинетическая энергия частицы, как это показано, являются родственными
свойствами благодаря четырехмерному представлению специальной теории
относительности, плотность и давление идеальной жидкости
7 Г. Мак-Витти
98 Глава III. Ньютоновская механика и теория относительности
не являются более независимыми свойствами, а суть аспекты одной и той
же физической характеристики, которую можно
назвать "энергией в обобщенном смысле1'. Более того, не
исключается возможность того, что плотность и давление могут переходить
друг в друга [4].
Ковариантная форма тензора энергии получается из (3.804) опусканием
индексов и имеет вид
= (р + Jr) (3.806)
тогда как смешанная форма тензора энергии имеет вид
^ = (З-807)
Из последнего выражения свертыванием получается инвариантная плотность
7^==(р + '^) м1Ч - 8?-§~==(р+-§-)- = ? -
которая снова подчеркивает, что инвариант тензора энергии является не
одной только плотностью, или одним давлением, а их комбинацией.
Четыре уравнения (3.805), заменяющие Ньютона (3.801), все еще образуют
неопределенную систему, несмотря на наличие дополнительного соотношения
(3.802). Причина, конечно, заключается в том, что теперь имеются четыре
функции и1*, которые совместно с р и р дают шесть неизвестных,
удовлетворяющих пяти уравнениям. Нелегко также найти дополнительное
соотношение при обращении к термодинамике, поскольку до сих пор не было
получено общепризнанного обобщения термодинамики на случай специальной и
общей теории относительности, - обстоятельство, которое следует помнить
при обобщении ньютоновской гидродинамики на случай общей теории
относительности.
ГЛАВА IV
Принципы общей теории относительности
§ 4. 1. Пространство-время Римана и уравнения Эйнштейна
Пространство-время Минковского специальной теории относительности
является весьма частным случаем четырехмерного риманова пространства. Так
как все метрические коэффициенты пространства-времени Минковского
постоянны, все соответствующие символы Кристоффеля тождественно равны
нулю и, следовательно, равен нулю тензор Римана - Кристоффеля.
Пространство-время поэтому является плоским в смысле § 2.5. Снятие этого
ограничения приводит к общей теории относительности и к решению проблемы
тяготения.
События, которые теперь подлежат рассмотрению, представляют собой историю
распределения материи, ее плотности и давления в последовательности точек
пространства в последовательные моменты времени, движение ее различных
частей, гравитационные эффекты, которые имеют здесь место и т. д. По-
прежнему мы будем считать, что каждое событие задается четырьмя числами
(х4, х1, х2, х3), эти числа мы будем называть координатами события.
Предполагается, что всем событиям, которые рассматриваются
исследователем, координаты приписываются одинаковым образом, однако
использованный частный метод не конкретизируется a priori. Следовательно,
х4 не обязательно обозначает время, a (jc1, х2, х3) - пространственные
координаты. Может оказаться, что исследователь найдет удобным задавать
время наступления события при помощи, например, некоторой функции от х4 и
хг. Единственное условие, которое при этом ставится, заключается в том,
что исследователь должен использовать одну и ту же функцию от х4 и л;1
для задания времени всех событий. Эта неоднозначность процедуры
сопоставления координат событиям подвергалась критике со стороны
некоторых математиков-прикладников, которые утверждали, что
удовлетворительная теория должна
7*
100 Глава IV. Принципы общей теории относительности
начинаться с описания методов наблюдения - истинных или мыслимых, при
помощи которых должны быть установлены координаты. Подобное ограничение
свободы исследователя не представляется обоснованным, и одна аналогия,
заимствованная из механики Ньютона, может прояснить этот вопрос. Хорошо
известно, что механическую систему в механике Ньютона зачастую можно
описывать с помощью уравнений Лагранжа,, что приводит к большим
преимуществам. Но уже в самих этих уравнениях используются обобщенные
координаты, для выбора которых не дается никакого правила. Можно даже
утверждать, что ценность метода Лагранжа заключается как раз в отсутствии
подобных правил. Когда дело доходит до применений уравнений Лагранжа к
конкретной физической ситуации, исследователь, разумеется, приписывает
