Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
тогда как кривая, для которой интервал между Р0 и Pj имеет стационарное
значение по сравнению с интервалами, измеренными вдоль любых других
близлежащих кривых, соединяющих эти две точки. Это свойство, конечно,
остается в силе и для прямых линий в эвклидовой геометрии, хотя в этом
случае прямая линия дает кратчайший интервал между двумя точками. Для
настоящих целей, однако, не является необходимым выяснение того, дают или
не дают геодезические линии в римановом пространстве минимальное или
максимальное значение интервалу между двумя точками этого пространства.
Дифференциальные уравнения геодезической линии могут быть получены
следующим образом (окончательные уравнения этой кривой не могут быть
найдены в явном виде без точного знания функций g^,). Предположим, что
(2.301) представляют собой окончательные уравнения геодезической линии,
соединяющей точки Р0 и Рг, так что интервал s равен
x = fX(p,), (X = 1, 2 п), (2.301)
(2.302)
где |х0 и [Xj - значения параметра [х в точках Р0 и Р1 соответственно.
Любая другая кривая, соединяющая Р0 и Рг и
§ 2.3. Геодезические линии
45
лежащая близко к геодезической линии, будет иметь уравнения вида
Xх - Xх -f- ешх - Fx (fx) -f- so)x (|а),
где u>)- = 0 при [х = |х0 и |х = |х1, а е - малая величина, квадратом и
более высокими степенями которой можно пренебречь. Если s - интервал
вдоль соседней кривой, соединяющей Р0 и Pv то
г-1 _ _
- [' ( . dxx dx'1 V/2 ,
s = J dV-
и, пренебрегая всеми степенями г выше первой, получим у-1
Го Г ( dx I I " I
s - J \ёъ -ф ф +Е(д^^гш +
Ht)
. 0 \ dx4 I Ч* , Г \ dx* dx'1 1 ^ .
Но так как ds = {g^dxxdx'i}l!2, последнее равенство может быть записано в
виде
* - = Т" Я ("'it ж) I?} ^
14)
Можно упростить выкладки, если s Ф 0, полагая параметр р, равным
интервалу s, измеренному вдоль геодезической линии. В этом случае dp/ds=
1, и
\h
причем теперь х\ со* рассматриваются как функции s. Интегрирование по
частям второго члена в последнем равенстве дает
46 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
Однако функции обращаются в нуль при s - sa и s = sv и поэтому
проинтегрированный член равен нулю. Поскольку интеграл должен иметь
стационарное значение для геодезической линии по сравнению с соседними
кривыми, s - s должно равняться нулю при любом выборе функций Это может
иметь место только в случае, если коэффициенты при каждом (и(r) в
подынтегральном выражении все равны нулю, и поэтому дифференциальными
уравнениями геодезической линии являются п уравнений
яг"0- <"=1'2 ">• <2-303>
Форма (2.303) уравнений геодезической линии чрезвычайно полезна при
практическом применении и будет неоднократно использована впоследствии.
Но для теории удобнее другая форма, включающая символы Кристоффеля
первого и второго родов, которые определяются соответственно следующим
образом *):
Й,.") = (,Х, v) = I(^l + ^-^), ,2.304)
i V 1=1 ^ 1 = 1*" (dgl° I dg** 3gX*\
\X|xj i [A j 2 ° \ dx* dx1 dx" }
Эти символы симметричны по отношению к двум индексам, написанным вместе,
однако они не являются компонентами тензора, как легко проверить,
используя законы преобразования тензоров gи g^. Легко также показать, что
эти два рода символов Кристоффеля связаны соотношениями
о)' у)=МСЬ
Уравнения (2.303) могут быть написаны в виде
d2x~> , 1 / dgzX dg", dgbl \ dx1- dx '
°avl ds2 ' 2 \ dxv ' dxx dx3 j ds ds '
') В настоящее время более употребительны обозначения Г.(> xji для (Хр.,
у) и для {1Х\. - Прил(. ped.
§ 2.3. Геодезические линии
47
умножая эти уравнения на g(tm) и производя суммирование по дважды
встречающемуся индексу о, получим
ТПГ + Ш^ТГ = °. <*=''2.......я). (2.306)
что представляет собой стандартную форму уравнений геодезической линии
риманова пространства, за исключением, однако, тех геодезических линий,
для которых s = 0 вдоль кривой.
Если dxv- соответствует бесконечно малому смещению вдоль геодезической
линии при изменении интервала на величину ds, то вектор dxv-fds (р,= 1, 2
п) называют
единичным тангенциальным вектором данной геодезической линии. Деля
(2.208) на ds2, получаем, что тангенциальный вектор удовлетворяет
уравнению
dx? dx4
*,.-й-1Г=Ь <2-306>
из которого видно, если использовать (2.213), что этот вектор имеет
единичную длину. Другой важный вывод состоит в том, что (2.306) есть
первый интеграл п уравнений геодезической линии (2.305).
Другой вид геодезических линий, называемых нулевыми геодезическими
линиями, получается в предположении, что интервал между двумя точками на
кривой равен нулю. Если р, - отличный от нуля скалярный параметр,
меняющийся вдоль нулевой геодезической линии, то кривая такого рода
характеризуется тем, что определяющие эту кривую уравнения имеют первый
интеграл, который записывается в виде
И у'к Н у *
Л = = о (2'307)
вместо (2.306). Дифференциальные уравнения нулевой геодезической линии
получаются путем учета того, что если Р0 и Рх - две точки на этой линии,
то интеграл
Г-1
I - J" hdy,
h>
48 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
