Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
координатам г - х'1, 0 = х' дается равенствами
х} = х'1 cos х'2, х2 = х'1 sin х'г, (2.101)
тогда как в трехмерном многообразии эвклидова пространства преобразование
от декартовых координат X = х1, У = х2, Z = х3 к сферическим координатам
г - х', 0 = х'г, ср = х' дается равенствами
х1 - x/l sin х'2 cos х'г, j
х2 = х'х sin х'г sin x'z, } (2.102)
о ,1 ,я I
Х3 = х' COS X . I
Эти два набора уравнений обладают свойством разрешимости, т. е. дают
возможность выразить (х') через (лг). Например, в двумерном случае
уравнения (2.101) дают
x/l = Y (х1)2{х2)2,
X'1- arc tg(^r);
аналогичные, но более сложные соотношения могут быть получены из (2.102).
В "-мерном многообразии преобразование координат выражается посредством п
равенств
х'х = fx(xl, X2 хп), (X = 1, 2.................л), (2.103)
где функции fx разрешимы, так что
Х'*)ш (2.104)
§ 2.1. Точечное многообразие. Тензоры
29
Взяв дифференциалы равенств (2.103), имеем
- формулы, дающие преобразование дифференциалов при изменении координат.
Однако не только координаты и их дифференциалы можно рассматривать как
величины, претерпевающие изменение. Можно предположить, что претерпевают
изменение и некие отдельные функции или наборы функций, определенные в
каждой точке (х). Предположим, в частности, что функция F (х) численно не
меняется, хотя ее формальное математическое выражение может измениться
при преобразовании координат (2.103); будем называть тогда F (х) скаляром
или тензором нулевого ранга. Очевидным примером, ') заимствованным из
эвклидовой геометрии трех измерений, является F (г), где r2 - X2-\-Y2-\-
Z2. Мы ограничимся лишь теми преобразованиями декартовых координат,
которые соответствуют вращению координатных осей вокруг начала координат.
Рассмотрим теперь набор из п функций (V1, V2 Vя),
причем каждая Vх является известной функцией (лг), и пусть к координатам
применяется преобразование (2.103). Тогда эти п функций называют
компонентами контравариантного вектора или контравариантного тензора 1-го
ранга, если эти функции преобразуются по тому же правилу, что и
дифференциалы координат, т. е. если преобразованные функции V/X связаны с
формулами
Из этого определения следует, что дифференциалы (dx) сами образуют
компоненты некоторого контравариантного тензора
1-го ранга. Вектор другого рода, компоненты которого суть
') Пример, приведенный автором, неудачен. Он может вызвать у читателя
неверное представление о том, что скаляр должен быть одной и той же
функцией координат точки в различных системах отсчета, в то время как он
обязан быть лишь одной и той же функцией точки. - Прим. ред,
(X = 1, 2.........п). (2.106)
30 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
(Uv U2, ..., Un), называется ковариантным (ковариант-ним тензором 1-го
ранга), если его компоненты преобразуются по закону
" , ii
^ = (*=1.2..........п). (2.107)
ц-1 дх'
Взаимосвязь ковариантных и контравариантных векторов определяется
теоремой, которая утверждает, что сумма про-
П
изведений 2 1^^х всегда есть скаляр, какая бы пара векто-
Х = 1
ров не рассматривалась. Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим
[1 = 1 [1 = 1 \Х = 1 / \ v - 1
дх' и. 1 =
ах'"
Х = 1 1 = 1
Но координаты дг\ хх независимы, а поэтому
dx* [ 0, если v Ф X,
~dx*~ | 1, если v = X. (2.108)
Отсюда следует, что
2^Ч=2^?/х.
|i = l Х = 1
так что величина суммы произведений не изменяется при преобразовании
координат и, следовательно, есть скаляр. Сумма произведений
соответствующих компонент некоторого ковариантного и некоторого
контравариантного вектора на<-зывается внутренним произведением *) этих
двух векторов.
Примечательной чертой предыдущих формул является то, что любому члену в
этих формулах, в котором индекс встречается дважды - один раз в
"верхнем", или контрава-
¦) В нашей литературе наиболее употребителен термин скалярное
произведение, - Прим, ред.
§ 2.1. Точечное многообразие. Тензоры
31
риантном, и один раз в "нижнем1*, или ковариантном положении, - неизменно
предпослано суммирование по этому повторяющемуся индексу от 1 до п. Это
положение иллюстрируется индексом р. в формулах (2.105) - (2.107). В
целях сокращения записи представляется целесообразным опустить знак
суммирования в таких случаях и ввести условие суммирования, которое
заключается в том, что индекс, встречающийся в некотором члене формулы
дважды, подразумевает суммирование таких членов по всем значениям индекса
от 1 до п. Так, например, формулы (2.106) и (2.107) запишутся в виде
и и[ = -Щ-иа. дх'1' дх'
Данныеf выше определения скаляров и векторов существенно зависят от
законов преобразования функций, включающих координаты. Нетрудно расширить
эти понятия на объекты, законы преобразования которых аналогичны, но
более сложны, чем законы преобразования скаляров или векторов.
Рассмотрим, например, п2 функций координат Т9Я ([х, v = 1, 2.....п),
закон преобразования которых имеет вид
т,^ _ дх^_ <W (|liV = Ii 2....п). (2.109)
дх* дх9
Говорят, что эти п2 функций образуют контравариант-ный тензор 2-го ранга,
