Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
равенство так
2Rlr - Rl,y = 0. (2.702)
Но если 2Л - произвольная постоянная, то дЛр d(Rl-2А) д , ,
и, следовательно, (2.702) может быть записано в следующем окончательном
виде:
| r;-~ ь; (ri - 2л)} в = о. (2.703)
Это равенство утверждает, что векторная дивергенция тензора Эйнштейна R?
- -i- 8J. (/?? - 2Л) тождественно равна
5 Г. Мак-Витти
66 Глава //. Тензорное исчисление и риманова ?eoM6tpun
нулю - результат фундаментальной важности в приложениях тензорного
исчисления к теории относительности. Поднимая или опуская индексы, мы
можем привести тензор Эйнштейна к одной из следующих трех форм:
ковариантной R^- - 2Л),
смешанной R*-- 2Л),
контравариантной R^- -¦ g^(Rl - 2Л),
(2.704)
а так как тензор Риччи R и метрический тензор g симметричны, тензор
Эйнштейна также симметричен.
Исторически постоянная Л была введена Эйнштейном при решении частной
задачи о структуре вселенной, которая будет описана в § 9.7 (а). По этой
причине ее называют космологической постоянной; однако это
"космологическое" наименование играет второстепенную роль, поскольку, как
было показано выше, Л входит в теорию как результат двух свертываний
тождества Бьянки, который определяет тензор Эйнштейна через его
ковариантную производную в (2.703). Космологическая постоянная является,
таким образом, по существу постоянной интегрирования, которой, подобно
другим постоянным интегрирования, не может быть a priori приписано какое-
либо частное значение. Мы вернемся к этой точке зрения в § 9.5.
§ 2.8. Тензорное исчисление в теории относительности
Римановы пространства, применяемые в теории относительности, имеют четыре
измерения, и поэтому каждая точка в этих пространствах характеризуется
четырьмя действительными координатами (х4, х1, х2, х3). Метрики этих
римано-вых пространств будут
ds2 = g^dx"dx\ (р, v = 1, 2, 3, 4), (2.801)
и рассматриваемые пространства ограничиваются случаем про-
странств, которые обладают следующим свойством. Если
§ 2.8. Тензорное исчисление в теории относительности 67
в некоторой точке введены локальные декартовы координаты, так что метрика
приобретает вид
ds2 - 2 sx(dXx)2, x=i
то одно из четырех ех имеет противоположный знак по сравнению с
остальными тремя. Подкласс таких римано-вых пространств, метрики которых
ортогональны, играет важную роль в теории относительности; в них
ds2 = у44(dx4)2 - yu (dx1)2 - Х22(dx2)2 - Хзз(dx3)2, (2.802)
где Х44' Tii' Т22' Тзз-положительные функции четырех координат. Отличные
от нуля компоненты метрического тензора
?44 = Т44' ?11 = - Til' ?22 = -7м- ?зз = - Тзз- (2.803)
Теперь удобно ввести соглашение, что латинский индекс может принимать
только значения 1, 2, 3, тогда как греческий индекс-все четыре значения
1,2, 3, 4. Индексы 1тп будут использоваться для некоторой циклической
перестановки чисел 123. Определитель, составленный из метрических
коэффициентов, есть
ё - ёаёиёпёга - Т44Т11Т22Т33 (2.804)
и, следовательно, имеет отрицательное значение. Это неудобно в
практических применениях. Однако эта трудность может быть обойдена, если
заметить, что во всех случаях, когда g входит в некоторую формулу,
которая должна быть подробно сосчитана; присутствие g обусловлено в
конечном счете использованием формулы (2.407). Примеры могут быть найдены
в формулах (2.408), (2.409) или (2.507). Но формула (2.407) может быть
записана в виде
Х ) 1 1 dg = 1 1 d(-g) _ d(\nY~g)
. Xv J 2 g dx'1 2 (-g) dx' dxv
и поэтому Уё может быть заменен на У-g в упомянутых формулах.
Контравариантные компоненты метрического тензора в случае метрики
(2.802), суть, с учетом (2.210) и (2.803), (2.804),
?44 = -4г=^-. ёи = -^-=-~, (2.805)
(r) *44 ^ И 'Ц
(/=1, 2, 3),
5*
68 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
тогда как отличные от нуля символы Кристоффеля (X Ф р.)
1 dS,i
(Хр, X) = - (XX, р)
(XX, X):
dS;
хх
2 дх*
2 дх*
(рр
№•
^хх
дх*
[ X | _ 1 dQngn) ' [ X )_ 1 д(\п gn)
(Хр j 2 (Xt11 I XX J 2 дх*
(2.806)
причем условие суммирования не имеет силы. Окончательные уравнения
(2.303) геодезической линии приобретают вид
4
JL( dxl\ 1 V1 (dx*\z_
ds ds ) 2 2u dx* \ ds )
v = l
: 0
(2.807)
(X = 1, 2, 3, 4)
с аналогичной формой для уравнений нулевой геодезической линии (2.309) и
интегралов (2.306) и (2.307), которые теперь записываются соответственно
так:
М = 1
4
1,
EM#)1-"-
(2.808)
(2.809)
ГЛАВА III
Ньютоновская механика и специальная теория относительности
§3.1. Ньютоновская механика частицы
Чтобы яснее понять общую теорию относительности, необходимо знать кое-что
о двух теориях, которые ей предшествовали, - механике Ньютона и
специальной теории относительности. Мы не будем стремиться дать
исчерпывающее изложение этих теорий, а лишь обратим внимание читателя на
некоторые важные моменты.
Общеизвестно, что положение и движение одного тела не могут быть описаны
или обнаружены без ссылки на какое-то другое тело. Гений Ньютона
преодолел это осложнение введением в систему механики двух постулатов,
