Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
41
и поэтому, используя (2.105), имеем
р' дх'1 дх/|Х
dxa dx? = glfL dxx dx'1'.
Так как дифференциалы координат независимы, последнее равенство может
иметь место только при условии, что
Меняя местами штрихованные и нештрихованные буквы, получаем
что представляет собой закон преобразования (2.110) кова-риантного
тензора 2-го ранга.
С помощью метрического тензора можно определить второй симметричный
фундаментальный тензор - контравариантный метрический тензор - следующим
образом.
Рассмотрим п2 функций gопределенных так:
которые благодаря свойствам определителя удовлетворяют соотношениям
Тогда функции gliL определяют некоторый контравариантный тензор 2-го
ранга - утверждение, справедливость которого может быть проверена при
помощи теории о частном. Если Vv--произвольный контравариантный вектор,
то внутреннее произведение (Д = есть произвольный ко-
вариантный вектор. Но
и поэтому внутреннее произведение gxlx с произвольным ко-вариантным
вектором (Д дает некоторый контравариантный вектор. Таким образом, должны
быть компонентами контравариантного тензора 2-го ранга.
дх'А дх^ _
^ дх" дхV ~ga°'
дх1 дх*
Алгебраическое дополнение в а g" = ----------------------------- - Ь
(2.210)
(2.211)
g^Ux = gWgxjr = ВИТ' =V".
42 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
Предыдущие формулы могут быть иллюстрированы на примере метрики (2.205)
поверхности сферы. Метрический тензор, определитель g и контравариантный
метрический тензор имеют вид (если положить г - х1, ср = х2):
Стоит также отметить, что в трехмерной эвклидовой геометрии при
использовании декартовых координат, метрика в которых есть (2.202), мы
имеем
так что метрический тензор и его контравариантная форма имеют компоненты,
численные значения которых равны единице или нулю.
Метрические тензоры позволяют нам совершать операции "поднятия" и
опускания" индексов тензора, .которые переводят ковариантный индекс в
контравариантный, и наоборот. Эта процедура состоит в образовании
внутреннего произведения данного тензора с одним из двух метрических
тензоров, и результирующий тензор рассматривается не как новый тензор, а
скорее как новая форма старого тензора. Так, в случае векторов V1, (Д,
эта процедура дает соответственно
') Здесь ярко проявляется неудобство обозначений, отмеченное в примечании
на стр. 32: в записи тензора Г* ниоткуда не видно, что опускается именно
второй индекс. - Прим. ред.
§П-§22- §33- §\iv - 0 (р. Ф v),
§= 1.
gll - g22 _ g33 _ ! t gvy _ о (jj, ф v), *
(2.212)
§ 2.3. Геодезические линии
43
Не представляет труда доказать, что результаты этих операций
действительно являются тензорами указанных типов. Рассмотрим, например,
закон преобразования V11, который имеет вид
V' - g' V'х = (-дх- дх- ¦¦¦ g ^ (дх- vA -
' 4 \дх'Х дх* "Ч\ дх< J
дха Ле3 тл _ дх3 . л дх$ . " дх$
дх"
и является, таким образом, законом преобразования кова-риантного вектора.
Тензоры, полученные один из другого процессом поднятия или опускания
индексов, называются ассоциированными тензорами. В эвклидовой геометрии
при использовании декартовых координат разница в значениях компонент
тензора после поднятия или опускания индексов отсутствует, как легко
видеть из (2.212). Это является одной из причин того, что в элементарной
векторной алгебре обычно нет необходимости проводить различие между ко-
вариантными и контравариантными векторами.
При помощи поднятия ковариантного индекса в случае необходимости вектор
всегда может быть выражен в его контравариантной форме, скажем Vх;
составив внутреннее произведение ковариантной и контравариантной форм
этого вектора, мы получим скаляр, называемый длиной вектора, квадрат
которой может быть выражен в одной из следующих форм:
V2 = VWx = gWVxVV' = gxJW*. (2.213)
§ 2.3. Геодезические линии
До сих пор наше внимание было приковано к тем изменениям, которые
претерпевают тензоры, когда совершается преобразование координат точек
риманова пространства. Теперь необходимо рассмотреть изменения другого
рода, которые возникают, когда при фиксированной системе координат
значение тензора в одной точке сравнивается со
44 Глава II. Тензорное исчисление и риманова геометрия
значением того же тензора в другой точке. Такие изменения целесообразно
рассматривать как обусловленные "движением " тензора из одной точки в
другую, и поэтому необходимо найти вид "путей" в римановом пространстве,
вдоль которых мы будем рассматривать движение нашего тензора. Эти
фундаментальные пути называются геодезическими линиями рассматриваемого
пространства; они обладают свойс ами, аналогичными свойствам прямых линий
эвклидового пространства. Геодезические линии являются частным вид кривых
в пространстве, а кривая задается с помощью уравнений
где [х - пар етр, изменяющийся от точки к точке на кривой. Подста эя хх
из этих уравнений в (2.208) и интегрируя по [х, мо: о выразить
интервал, измеренный вдоль кривой,
через [х. Гео зическая линия, соединяющая две точки Р0 и Pv определяется
