Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
элементарных возбуждений, примерно, как это было при его введении в (ч.
II. 89.6) для фононов. В отношении подробного изложения этого, как и
весьма сложных методов теории возмущений для фактического расчета
энергетических спектров и времени жизни в системах с взаимодействием,
отсылаем к приведенной выше литературе.
Определенная в (П.7) функция Грина описывает частицу при Т = 0
(одночастичная функция Грина). Наряду с этим можно определить
двухчастичные функции Грина, которые нужны, например, для описания
поведения систем во внешних полях. Для описания термодинамических свойств
при Т Ф 0 должны быть введены зависящие от температуры функции Грина. Все
это вводится через вспомогательные средства, выходящие за рамки
требующихся в этой книге.
1 Напротив, мы хотим подробнее изложить второй круг вопросов - о
применении функций Грина для расчета энергетического спектра
невзаимодействующих фермионов в заданном, не зависящем от времени
потенциале. Для периодического потенциала этот вопрос детально обсуждался
в гл. IV ч. I.
Исходим из уравнения Шредингера
С фл образуем зависящие от времени операторы поля в представлении
Гейзенберга:-
При определении функции Грина принимаем во внимание, что, как и ранее, G
может зависеть только от разности времен <1 -¦ t2. Напротив, вследствие
отсутствия пространственной трансляционной инвариантности Я, ri и г2
остаются независимыми друг от друга.
Полагаем и = t и <2 = 0. Тогда с аргументацией, подобной использованной
при выводе (П.20), находим из (П.7)
(П.ЗЗ)
Так как Я не зависит от времени, выражение приводит к
Яфи(г) = Еп ф"(г).
(П.34)
ДЗ (Г, t) = ехр Я<| 2 фп (г) сп ехр -j- Htj. (П.35)
%
G (ri> v о=-12 ф" (ri)ф* с*)0 (t) ехр
О о, (П.36)
п
й соответствующее выражение для < < 0. Для дальнейшего обсуждения
целесообразно раздельно определить функции для (>0 и t<0 (G+ и G_) и
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИЙ ГРИНА
161
ввести сразу в жх энергетические показатели экспонент фактор -ьгб (б
положительно, lim б 0) :
G±(ri' V *) = + 1 2'ф" (ri) ф* (Гя) 0 (± *) еХр ~Т (Еп + i8) *]• (П-37)
Соответственно переходу от (П.23) к (П.21) можно указать для G± фурье-об-
раз относительно времеви
(ri) Ф" (Г2)
Aw - Еп + id
(П.38)
Для дальнейшего обсуждения этой функции вводим в G коэффициент А и пишем
Е - Aw вместо со:
Е-Еп± 18
(П.39)
В (П.37) и (П.39) проявляет себя взаимосвязь определенных здесь функций
Грина с функциями Грина, известными по теории дифференциальных уравнений.
Как известно, там дифференциальному оператору Ь(х) посредством
соотношения L(x)G(x, |) = б(х-|) сопоставляется функция Грина G(x, ?).
G(x, I) дает возможность отыскания частного решения неоднородного
дифференциального уравнения Е(х)<р(х) = V(х) как ср (х) = j G (х, ?) V
(|) d|, что
легко проверяется подстановкой.
Соответствующие соотношения следуют из (П.37) и (П-39) с помощью равенств
1
' d
-^-0(t) = 6(t) и 2fp"(ri)^(r2) = 6(ri-r2)-
П
(П.40)
Получаем
% д
t dt
-Я(г,)±1б G±(tv r2, i) = ES(i)6(r1-r2) (П.41)
[E - H(fi) ± i6]G±(ri, r2, E) = б(ц - r2).
(П.42)
Таким образом, с точностью до несущественного множителя А в пределе б ->•
0 G (г[, r2, t) является функцией Грина временного уравнения Шредиигера,
a G(ri, г2, со) или G(ri, г2, Е) -не зависящего от времени уравнения
Шредин-гера системы без взаимодействия.
Для систем с взаимодействием .такая взаимосвязь между определениями (П.7)
и (П.41) не дается.
Функция Грина GJ,ru r2, Е) содержит в себе, с другой стороны,
многочисленную информацию относительно рассматриваемой системы. Из (П.39)
понятно, что ее полюса дают собственные значения- Еп уравнения Шредиигера
(П.34). К этому мы вернемся в дальнейшем. >
В предшествующих главах мы вывели из зонной модели такие физически важные
величины, как плотность состояний,.вероятность перехода между состояниями
и пр. Функция Грина позволяет определить эти параметры также напрямую без
окольного пути через зонную модель. Это важно, прежде всего, тогда,
когда, как в случае неупорядоченных фаз, отказывается служить схема
зонной модели.
162
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ ГРИНА
Плотность состояний г (Е) == ^ 5 (Е - Еп) находят из (П.39) при исполь-
П.
зовании (П.40) и равенства
limrp1g=p(-f)-/ne(*) (П.43)*
в вычислении выражения:
f dx Im G+ (г, r, Е) = - я ^ Г dx <рп (г) ф* (г) б (Е - Еп) =
J я
= -л'21Ь(Е-Еп) = -т{Е). (П.44)
п
Левую часть (П.44) можно трактовать как сумму диагональных' элементов г,
= г2 функции Грпна, следовательно, как Sp мнимой части G+. Так как Sp
оператора не зависит от избранного представления, (П.44) можно
символически записать в виде
z (Е) = - Sp Im G+ (Е). (П.45)
Для мнимой части комплексной диэлектрической проницаемости, которая
определяется переходами между состояниями Е" (ср. ч. II, гл. IX, раздел
Б), находим
е2 (со) оо J dE F (Г, Е, ftco) X
X Sp {(e-grad) Im G+ (E) (e-grad) Im G+ (E + ftco)}. (П.46)
Здесь F - функция, зависящая от статистического заполяения состояний прп
заданной температуре. Мы проверяем (П.46) с помощью следующего
