Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
которой обладает рассматривавшаяся многочастичная система
"кристаллическое твердое тело". Действительно, как мы видели в ч. I, гл.
IV, периодичность решетки решительным образом упрощает процедуру решения
одноэлектронпого уравнения Шредиигера. При описании же движения электрона
в неупорядо-. ченной атомной структуре (жидкость, аморфное твердое тело),
подобные упрощения невозможны даже в одноэлектронном приближении.
Центральную роль в теоретико-полевых методах пграет функция Грина. О ней
и пойдет речь в этом Приложении. Данное изложение, однако, имеет целью
ознакомить читателя только с некоторыми важнейшими понятиями и возможными
применениями. Истинное введение в эти методы в рамках одного Приложения
невозможно. Поэтому отсылаем читателя к монографиям по теории
многочастТтчных систем, особенно к [36] - [38] и [42].
Ниже мы обсуждаем только два круга проблем, которые тесно связаны с
материалом этой книги. Прежде всего, мы покажем, дав общее - определение
функции Грина, как с ее помощью можно количественно описать понятия
квазичастицы, ее энергетического спектра и времени жизни. В качестве
примера рассматривается электронный газ с взаимодействием и без
взаимодействия. Этим мы углубляем изложение ч. I, § 10.
Большая часть физики твердого тела посвящена рассмотрению той или иной
системы невзаимодействующих квазичастиц в некоем заданном потенциале
(одночастичное приближение). Во второй части Приложения эта проблема
рассматривается с точки зрения метода функции Грина. Таким образом,
получаем возможность установить" принципиальную связь между зонной
моделью кристалла и энергетическим спектром электрона в неупорядоченной
атомной структуре.
Для определения функции Грина нам нужны два понятия из квантовой
механики, которые мы кратко напоминаем. ¦
а) Операторы поля. Пусть для-системы частиц (бозонов"или фермионов) af
и а~ - операторы рождения и уничтожения- в представлении чисел заполнения
(см. ч. I, Приложение А), а цц (г)-волновые функции частицы в состоянии
Тогда операторы поля определяются как
$+ (г) = 2 Ф* М at' $ ^ = 2 'Pi W av
i i
Такие операторы уже были введены в (ч. II.83.6). Они описывают
образование или уничтожение частицы в точке г.
Из коммутационных соотношений для а* и щ, приведенных в Приложении А в ч.
I*), следуют .коммутационные соотношения для операторов поля:
[? (г),*+(*')]* = б (г-г'), fi(r)/9(rO-]T = [$+(r),V(r')b = 0, (П.2)
. ' *) ["^ а:1;] = би,. (Примеч. пер.) Но. Маделунг " ^
154
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ ГРИНА
где знаки =F означают, .что для бозонов имеют место коммутаторы, а для
фер-мионов - антикоммутаторы. '
Операторы, которые можно представить в виде суммы одночастичных или
двухчастичных операторов, легко могут быть , описаны через операторы
поля. Из соответствующих соотношений (ч. I, II. А.31) и (ч. I, II. А.ЗЗ)
следует
Н = 2 h (Ti) = j <г)h (г) ^ мdx
и, соответственно,
Н = 2 h (Гг> rj) = J ^ (ri) (r2) h (г1> Г2) ф (ri) * (r2) dXl dX2¦ <п-3)
ij
, б) Представления Шредингера и Гейзенберга.¦ В уравнении Шредингера
волновые функции зависят от времени, а операторы - нет. Изменение во
времени ожидаемого значения какой-либо наблюдаемой величины проистекает
здесь из временной зависимости ф(г, t):
<Й(г)> = <ф(г, t) |Q]ф(г, г)>.
Теперь каждое решение временного уравнения Шредингера -(г/И)Яф = ф при не
зависящем от времени операторе Гамильтона имеет вид ф({) =. = ёхр [-
(if%)Ht]ф(0). Тогда <й (t) > можно записать также в виде
<?>(*)>=< Ф (0) 1
ехр Ilt'j й ехр|- L Ht
ф(0)^> = <ф(0)|й({)|ф(0)>.
(П.4)
После последнего преобразования Матричный элемент содержит зависящий от
времени оператор и не зависящие от времени волновые функции. Это
представление называют, в отличие от первоначального представления
Шрединге-ра, представлением Гейзенберга. В Этом представлении изменение
во времени оператора имеет вид
й (f) = - _ • dt
ехр (-*.Я*)йехр(-±Я*)
= ±[ЯЙ]_. (П.5)
%
Наряду с этими двумя возможностями дается еще так называемое
представление взаимодействия, в котором зависящий от времени оператор
определяется ' посредством оператора Гамильтона Я0 системы без
взаимодействия (Я = Я0 + 6Я):
* й (f) = ехр #0f j й ехр ^-~ H0tj. " (П.6а)
Волновая функция остается зависящей от времени и удовлетворяет уравнению
Шредингера с оператором Гамильтона 8H(t):
- ?-<j>(r,.t) = 6H(t)tp(r, t) = ехр ^1. Я04 j 6Я ехр 2. Я0{ ^.ф (г,
t). (П.бб)
Это представление мы используем в (1.65).
С помощью этих понятий мы теперь в состоянии ввести функцию Гриi на. По
определению
, 0(гь г2, tu h) = - г<Чго|Г[ф(Г|, ii)?+(r2, *г)] 1^0>, (п.7)
где То - основное состояние многочастичной системы, ф (г, г)-соответству-
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ грина 155
ющие операторы поля в представлении Гейзенберга:
$ (г, t) = ехр (l. fftj $ (г) ехр 1 IftJ, (П.8)
Т - хронологический оператор, который упорядочивает произведение
операторов поля таким образом, чтобы более ранние времена находились
справа от более поздних. Для фермионов Т содержит, кроме того, фактор (-
