Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
V (r)TO'qn
(77.10)
Заменим в каждом члене суммы по п радиус-вектор г на /?"; тогда
суммирование членов exp (I (q + ")•/?") приводит к требованию q - - к.
Таким образом, получим
Я'-[...]-7=1= (о*++в-*). (77.11)
у што
Оба фононных оператора описывают связанные с ними возможности поглощения
фотона (с импульсом и): рождение фонона х или уничтожение фонона -я.
Второй случай мы должны исключить, так как он противоречит закону
сохранения энергии. Для вероятности поглощения мы получим выражение,
пропорциональное квадрату модуля матричного элемента от Я', причем
необходимо еще потребовать сохранения энергии; таким образом,
§78]
МНОГОФОНОННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
307
поглощение ~ | <е | Н' | а> |2 б (сого - со) ~
~ ?7Же"'е:
Наряду с б-функцией, которая дает узкую линию поглощения при со = сого,
имеют значения множитель пт0-\-1 (стимулированное и спонтанное испускание
TO-фонона) и множитель, содержащий заряд и массу иона. Последний
показывает, что, если поперечные оптические колебания не связаны с
электрическим моментом, фотон-фононная связь рассматриваемого типа
существовать не может.
При расчете полного поглощения, связанного с однофононными процессами,
необходимо учитывать наряду с фотон-фононными переходами и фонон-фотонные
переходы. Мы должны, следовательно, из доли преобразований "фотон в
фонон" (пропорциональной пто-\-\) вычесть обратные процессы переходов
фононов в фотоны. Последние процессы пропорциональны пто. Из-за того, что
(пго+ 1) - п
то- 1" результирующее поглощение не зависит от пт0.
В качестве литературы, наряду с книгой Борна и Хуанга [97], рекомендуем
статьи Генцеля и Бильца в [58.6], Джонсона в [111.9] и Хасса в [ПО].
§ 78. Многофононное поглощение
Рассмотрим такое поглощение фотона, при котором образуются два или
несколько фононов. Для этого процесса необходимо учитывать два механизма
связи (см. рис. 88).
Дипольные моменты высшего порядка. Линейная зависимость между
поляризацией и отклонениями (77.9) ведет к процессам, в которых один
фонон испускается или поглощается. Это связано с тем, что оператор
взаимодействия (77.10) линеен в Р, тем самым и в s, наконец, тем самым и
в и ач. Эта линейная зависимость описывает, однако, только взаимные
колебания жестких ионов, эффективный заряд которых сосредоточен в их
центре тяжести. Из-за отклонения соседних ионов электронная оболочка иона
искажается, за счет чего индуцируется дополнительный эффективный заряд
Де*. Этот заряд создает дополнительную связь с электрическим полем.
Соответствующий член в операторе взаимодействия должен зависеть от двух
отклонений - индуцирующего и индуцированного ионов:
(78.1)
па
п'а'
где fna' может быть тензором. Так как в (78.1) фигурируют два отклонения,
то соответствующий оператор взаимодействия содер-
-J-(rtro-M)6(coro-co). (77.12)
308
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ФОТОНАМИ. ОПТИКА
[ГЛ. IX
жит произведение двух операторов - рождения и уничтожения фононов.
Следовательно, при поглощении фотона могут быть два фонона испущены или
один фонон испущен, а другой поглощен. Можно рассматривать (78.1) как
квадратичный член разложения Р по степеням отклонений. Член я-го порядка
связан тогда с п-фононным процессом.
На рис. 88 даны диаграммы двухфононных процессов. При этом мы не решили,
содержит ли этот трехквантовый процесс, как процесс взаимодействия более
высокого порядка, виртуальные, промежуточные состояния. Примером являлось
бы образование фотоном виртуальной электронно-дырочной пары, с дальнейшим
образованием электроном или дыркой фонона q и следующей за этим
рекомбинацией пары с образованием второго фонона - #. В дальнейшем мы
будем рассматривать только единичный процесс, не обсуждая поднятого выше
вопроса.
4 Ангармонизм решетки. Подобно рассмотренным процессам распада фотона на
несколько фононов, фонон тоже может распасться на несколько фононов.
Такие процессы, так как исходная частица тоже фонон, должны быть в
отклонениях соответственно более высокого порядка. Например, распад
фонона на два фонона должен быть третьего порядка в sna- Эти и более
высокого порядка члены, определяющие ангармонизм колебаний, и были
опущены в разложении (30.2). Они определяют взаимодействие между
фононами. Мы рассмотрим их подробнее в гл. XI. Здесь они существенны, так
как рассмотренный на рис. 88 механизм превращения фотона в один фонон, но
с последующим его распадом также принадлежит к процессам многофононного
поглощения. В противоположность связи через дипольные моменты высших
порядков, связь через ангармонизм решетки может быть эффективной только в
полярных твердых телах, так как частичные процессы запрещены в неполярных
телах.
Двухфононное поглощение определяется, 'таким образом, следующими
факторами.
Закон сохранения импульса требует, чтобы K = q±q'- Так как и пренебрежимо
мало, то q ± q' - 0 (суммарное или разностное поглощение).
Закон сохранения энергии требует, чтобы со = со,- (q) ± со г (q), при
этом действительны оба знака: для испускания двух фононов (суммарное
