Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
наблюдаемой величиной ни в классической, ни в квантовой теории.
Покажем теперь, что
Для этого используем шредингеровское представление оператора. Согласно
выражению (4.118а) и коммутационным соотношениям (4.95) и (4.96) имеем
где р = г - /*'. Для суммирования по индексу о используем соотношение
(4.121). Тогда получим следующее коммутационное соотношение:
Так как со; с | кч | и k_t - -кх, то функция (r)-1i [Sfj- -(k;); (k();] -
четная относительно замены (-I) на I, а функция sin (&гр) - нечетная.
Поэтому вся сумма в соотношении (4.130) обращается в нуль. Следовательно,
соотношение (4.129) оказывается справедливым как в шредингеровском, так и
в гейзенберговском представлениях.
[А? (г, t), Df *)] = - ihbl (г - г'), (4.128)
Ui (г, t), Aj ("•', г)] = 0.
(4.129)
\Ах{г), /ly (я')] =
чт п
= S-2-a e"V lexP (**'P) - exp (- i*,p)b
224
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. IV
Коммутационные соотношения для операторов D и В, относящиеся к одному
моменту времени. Величины D и В (или Е и Н) являются физически
наблюдаемыми величинами. Поэтому очень важно знать коммутационные
соотношения между их значениями в один и тот же момент времени. Так же,
как мы доказывали справе,дливость равенства (4.129), легко показать, что
[Dt (г, t), Dj (/•', t)l = 0, (4.131а)
IBI {>>,?), Bj (*•', г)] = О, (4.131Ь)
где компоненты 2?г- в шредингеровском представлении определяются из
соотношения
Bs (г, 0) = - i2 [е*акг1 X
X [aia ехр ({/<;,/*) - а% ехр (- Ис1>')]. (4.132)
Для доказательства условия (4.131Ь) необходимо доказать соотношение
2 1ег°кг1г [еьк,],- = 2 (егa)i (ег<3)у, (4.133)
о a
которое является следствием условия (4.121). Это легко показать, если
предположить, что векторы e;i, el2 и кг образуют правую тройку. Тогда
(е;а, ег") = баач ^ 1" 2,
(е,а, к,) = 0, (4.134)
[епегг! = к,.
Отсюда следует, что [e;i,fc;] == - ег2 и [еггЛ?г] = ег1, и доказательство
(4.133) очевидно.
Согласно общей теории раздела 1.13 соотношения (4.131) означают, что
любые две компоненты вектора D (или Е) могут быть одновременно измерены
без какой-либо взаимной интерференции. То же самое относится к любым двум
компонентам вектора В (или Н).
4.7J КОММУТАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ 225
В Приложении Г будут выведены следующие коммутационные соотношения:
[Di(r,t), В^г'ф)] = 0, i = 1,2,3, (4.135)
I />*("-, t), Bj(r',t)].
-ih-А- в(р), (4.136a)
+ Й (p), (4.136b)
где соотношение (4.136a) справедливо, если индексы i, j ж к получены
циклической перестановкой индексов 1,2,3; если индексы i,j,k образованы
циклической перестановкой индексов 1, 3, 2, то справедливо соотношение
(4.136Ь).
Из соотношения (4.135) следует, что параллельные компоненты векторов D и
В могут быть одновременно измерены, в то время как согласно соотношениям
(4.136) взаимно перпендикулярные компоненты этих векторов не могут быть
одновременно измерены.
Гейзенберговские уравнения движения для векторов D и В. Так как векторы
IJ, В, Еж Н являются операторами, то они удовлетворяют гейзенберговским
уравнениям движения. Гамильтониан электромагнитного поля может быть
записан в виде
Н = -Т$[^Г2>а(г'"')+11Гда(,,''')]йт'- (4-137)
Этот гамильтониан представляет собой в данном случае эрмитов оператор в
гейзенберговском представлении. В Приложении Д будет показано, что
<Ш"
ih --= [Х>н> Н\ = г/irot IIH, (4.138а)
dli
ih = [Вн, Н] = - ih rot Ея. (4.138b)
Это и есть гейзенберговские уравнения движения для операторов D, В, Н, Е
в гейзенберговском представлении. Однако по форме эти уравнения идентичны
классическим уравнениям движения Максвелла. Таким образом, мы построили
самосогласованную квантовую теорию, которая
226 КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО НОЛЯ [ГЛ. IV
переходит в классическую при h -> 0. Согласно соотношениям (4.136) при h
-> 0 операторы коммутируют между собой и ведут себя подобно классическим
переменным.
Два других уравнения Максвелла также оказываются справедливыми.
Действительно, так как (е;0к;) = 0, то из выражения (4.118Ь) следует, что
div D = 0; аналогично, так как ([е/"к;]А^г) = 0, то из выражения (4.132)
следует, что div Л = 0.
4.8. Нулевые флуктуации поля
В разделе 4.2 мы рассматривали нулевую энергию и нулевые флуктуации в LC-
контуре. В настоящем разделе мы рассмотрим нулевые флуктуации
электромагнитных полей в полости.
Согласно (4.118Ь) для /-й компоненты вектора электрической индукции Dj
(г, t) в гейзенберговском представлении можно написать следующее
выражение:
D, (г, t) = Я<+) {г, t) + ЯН (г, t), (4.139)
где ______
/л Х~! Hi iV
Dj (г, t) = i 2 1/ (еы)} aia (t)e
< ) г' + (4-14°)
Выражение для компоненты Dсодержит только операторы уничтожения аг", а
сопряженное ему выражение D\ ) содержит только операторы рождения ajt.
Среднее значение компоненты Dj определяется, как известно, выражением
вида
<Д;> = <ф (0) I Dj (г, г) I ф (0)>, (4.141)
где | ф (0)> - состояние поля в момент Z = 0.
Согласно выражению (4.104) произвольное состояние поля | ф (0)) может
быть разложено по полной системе собственных кет-векторов оператора
