Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотрим в одном из следующих разделов [28].
Если время взаимодействия мало по сравнению с временем ilk, то
коэффициенты cs(t) в (5.19) могут быть разложены в степенной ряд по
величине к:
Cs (t) = ci0) (t) + cew (t) + c<(r) (t) + ..., (5.21)
244 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [WE V
где с(r) (t) по величине оказывается порядка к, (t) - по-
рядка к2 и т. д. Подставляя разложение (5.21) в систему (5.19) и
приравнивая между собой члены одного порядка по к, мы получим систему
приближенных уравнений:
.й <0) (О
т
ih
ih
dt Ас*" (t) dt
dc(2) (t) dt
= 0, (5.22)
= So s 1 Нг 1 s> eiaW cin) (t), (5.23)
= 2oi /АН) cP (t) (5.24)
и т. д. Если в гамильтониане имеется член Нг порядка к2, то его следует
включить в уравнение (5.24).
Будем последовательно решать эти уравнения. Согласно уравнению (5.22) в
нулевом порядке по величине к мы имеем
Сп' (t) = const. (5.25)
Это соответствует тому обстоятельству, что при отсутствии взаимодействия
(к = 0) состояние системы не меняется с течением времени. В большинстве
интересных случаев система начинает взаимодействовать с внешним
возмущением, находясь в определенном собственном состоянии гамильтониана
Н0, например в состоянии | i). Тогда (5.25) переходит в
<&0)(*) = flni = <n|l>. (5.26)
При таком выборе начального состояния системы сумма в уравнениях первого
порядка (5.23) сводится к одному члену, и мы получаем dJX)
т~ЧГ1-<п\ (5.27)
В тех случаях, когда гамильтониан Н1 не зависит от времени, уравнения
(5.27) можно проинтегрировать и получить в результате следующее
выражение:
'"/i* \
ihcip(t) = a\H1\t'>" j- ¦, (5.28)
5.3] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ 245
где состояние </ | есть конечное состояние системы. При этом согласно
(5.26), если начальное и конечное состояния системы различны, то вели
[ина с/1} (0) = 0. Иначе говоря, предполагается, что в начальный момент
времени t = 0 конечное состояние оказывается свободным.
Вероятность нахождения системы в состоянии | /) в момент времени t, если
в начальный момент времени ?=0 она находилась в состоянии | г),
приближенно определяется соотношением
. (Tv 4 sin2 (1/г со,.г)
I с?0 (0 I2 = ж I </1*> --Т" ¦ • <5-29)
Вероятность перехода из состояния | г) в состояние | /) оказывается
порядка /с2. Обычно говорят, что возмущение Н1 индуцирует в системе
переходы из состояния | j) в состояние |/).
Возникает вопрос: что такое | сР (t) |2 в этом приближении? Для того
чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим опять соотношение (5.27) для
случая, когда | га) = |i). Так как согласно (5.20) = 0 и, кроме
того, во многих
случаях
< i I Hi М> = 0, то из (5.27) следует, что
СР (0 = const.
Согласно соотношениям (5.21) и (5.26) и условию нормировки (5.17) эта
постоянняя должна быть равна нулю. Фактически это означает, что выбранное
приближение с точностью до членов порядка к2 справедливо лишь для
достаточно коротких промежутков времени, т. е. до тех пор, пока исходное
и конечное состояния не изменятся слишком сильно. Иными словами, время
жизни исходного состояния предполагается достаточно большим.
То же самое можно показать другим способом. Множитель
sin2 (V2 (c)л 0/"/i (5.30)
в соотношении (5.29), рассматриваемый как функция (c)/г, имеет очепь острый
максимум при (c)/г = 0. В максимуме
24б ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
его значение равно г2/4 и стремится очень быстро к нулю при (c)fit 2я.
Таким образом, в случае со/; ~ 0 выражение (5.29) оказывается
пропорциональным fc2?2, и, как и предполагалось, разложение (5.21)
является разложением по степеням kt, быстро сходящимся лишь при kt 1. Это
означает, что время взаимодействия должно быть мало по сравнению с к'1.
Это обстоятельство следует учитывать при использовании полученных
результатов.
Как следует из (5.29), вероятность того, что возмущение Нг индуцирует
переход между исходным и конечным состояниями, практически равна нулю, за
исключением случая, когда ^ 0. Согласно (5.20) это значит, что
Ef^Ei. (5.31)
Это закон сохранения энергии. Он указывает на то, что переходы между
двумя состояниями возможны лишь в тех случаях, когда их энергии примерно
одинаковы. При этом сами состояния могут быть различными. Этот закон
сохранения не был введен в теорию в качестве исходного постулата, а
явился ее следствием.
Рассмотрим теперь пример, когда начальное и конечное состояния различны
(| г) ф | /", в то время как их энергии одинаковы (Ei = Ef) (этот пример
понадобится нам в следующем разделе). Рассмотрим атом, имеющий два
дискретных энергетических уровня, например | а) и | Ь), с энергиями Еа и
Еь соответственно, и фотон с энергией Я со. Начальное состояние системы
пусть состоит из одного фотона поля излучения и атома в нижнем состоянии
| Ь}. Это начальное состояние описывается кет-вектором | ?> и энергией Ег
вида
| ?> = | Я, 1), Ei = Еь + Ясо.
Конечным состоянием пусть будет атом в верхнем состоянии | й) в
отсутствие фотона. Тогда кет-вектор конечного состояния и его энергия
