Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
нормировки. Постоянная распространения к для этих волы равна
& = JL = co/ZC = 4 (4.32)
(YiTc = Z0 - характеристический импеданс линии, А, - длина волны).
Частоту со будем считать заданной и длину z0 положим равной целому числу
длин волн:
(4.33)
где тп - фиксированное целое число. Тем самым мы ограничились одним типом
колебаний, т. е. волной, бегущей в прямом направлении вдоль оси z.
С помощью соотношений (4.31) и (4.33) мы легко получим, что энергия,
накопленная в линии такой длины, равна
. 2 л
Z0 = ГПК - тп,
го 2 Ttm/fc
я =4${Су2 tz' *) + ьр (2' dz = [ су2 (z> *) dz• (4-34)
о о
202
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
Подставляя теперь (4.31) в формулу (4.34), получим
Н = h(i>a*a. (4.35)
В этом классическом результате множитель Лео получился из-за специальной
нормировки величин V и I. Это значит, что мы энергию просто выразили в
единицах Йсо.
Определим теперь значение постоянных а и а*. Определив их, мы с помощью
(4.31) полностью определим тип колебаний. В силу этого величины а п а*
можно считать параметрами, описывающими состояние системы. Их можно
выразить через две новые действительные величины q и р с помощью обычных
соотношений:
а = уЖ^ + ip)' а'= ~ip]' <4-36>
так что энергия, запасенная в линии, согласно (4.35) и (4.36) имеет вид
Н = 4- (Р2 + "о2?2)- (4-37)
Таким образом, мы показали, что в классическом случае одномодовая линия
связи длиной, равной т длинам волн, полностью эквивалентна гармоническому
осциллятору. Тип колебаний определяется заданными выше параметрами аж а*
(или q и р). Они указывают на состояние возбуждения данного типа
колебаний.
Теперь легко видеть, как проквантовать линию связи. Будем считать
величины р и q эрмитовыми операторами, связанными с неэрмитовыми
операторами а и а+ соотношениями (4.36). В соответствии с этим напряжение
и ток становятся операторами. Наложим квантовые условия
[¦q, р1 = ih, [a, а+] = 1. (4.38)
Тогда все остальное становится очевидным. В гейзенберговской картине
операторы a (t) и а+ (t) имеют вид
а (t) = еШа+а ае~Ша+а = а ^ш,
(4.39)
а+ (t) == еШа+а а+е-(tm)'а+а =-- a '- eia,!, а гамильтониан (без энергии
нулевых флуктуаций) равен
Н - Гта+а,
(4.40)
4.31 КВАНТОВАНИЕ ЛИНИИ СВЯЗИ, НЕ ИМЕЮЩЕЙ ПОТЕРЬ 203
Операторы напряжения и тока в гейзенберговской картине с помощью
соотношений (4.31) и (4.39) могут быть представлены в виде
V\i{z,1)=V [a(t)eiltz + a+{t)e-illz ] = ~\f -^-/h(z, t).
(4.41)
Очевидно, что напряжение и ток, соответствующие одной и той же моде,
коммутируют между собой.
Выведем гейзенберговские операторные уравнения движения для FH (z, t) и
/ц (z, t). Они имеют вид
I!
dVu .. dlu
д[ = [^н,#н], Hi-gj-= [1ц, Ни], (4.42)
где гамильтониан, согласно гейзенберговской картине, имеет вид
Нп -- InMi^a.u = fma+a. (4.43)
Так как имеют место соотношения коммутации
[а, а+а] - а, [а+, а+а] --- - а, (4.44)
то уравнения (4.42) с помощью соотношений (4.41) и (4.43) приводятся к
виду
ih-$r ?к0 V Щ-0 [а Ф еШ~а+ (0 e~ikz] = - 7Г "Jr - (4.45а)
dlyr ifi dV,f
in-? = -hi>r- <4-45Ь)
Эти уравнения совпадают с классическими уравнениями (4.23). Таким
образом, мы вновь показали формальную эквивалентность между классическими
уравнениями движения и гейзенберговскими операторными уравнениями
движения.
Состояние системы (одномодовой линии связи) в момент t определяется
соотношением
I Ф (*)> = е~Ша+а |ф (0)>, (4.46)
204
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ t(tm). IV
где |ф (0)) - начальное состояние возбуждения, а а+а - оператор числа
фотонов для числа фотонов на всей длине линии.
Так как эрмитовы операторы FH и /н для данного типа колебаний
коммутируют, то они могут быть измерены одновременно. Однако легко
показать, что FH (z, t) и dl-a/dz не коммутируют.
4.4. Представление классического поля излучения в полости в виде
бесконечного набора осцилляторов
В этом разделе мы кратко рассмотрим классическую теорию излучения в
полости, не содержащей источников поля. Мы придадим теории каноническую
форму и покажем, что поле в полости эквивалентно бесконечному набору
гармонических осцилляторов. В следующем разделе мы проведем квантование
этого поля, квантуя эти осцилляторы так, как это делалось в предыдущих
двух разделах.
Мы будем везде использовать систему единиц МКС. Мы не будем дополнительно
определять некоторые символы, которые стали традиционными, считая их и
без того известными читателю.
Уравнения Максвелла. Если источники отсутствуют, то электромагнитное поле
подчиняется уравнениям Максвелла вида
div В = 0, (4.47)
го tE=-~, (4.48)
div .D = 0, (4.49)
rot Н = Щ, (4.50)
где
В = Цо Н, D = е0Е (4.51)
и ц0е0 = с~2, а величины р0 и е0 характеризуют свободное пространство.
Уравнению (4.47) можно удовлетворить тождественно, если положить
В = rot А.
(4.52)
4.4J КЛАССИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПОЛОСТИ 205
Точно так же, если
- ~ ~dt
Е = - д-^- - grad V, (4.53)
где А и V - векторный и скалярный потенциалы, то уравнение (4.48)
превращается в тождество.
Так как уравнения Максвелла градиентно инвариантны, то легко показать,
