Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
J0 > 0, а сп принимает значения
0, 1 с вероятностью 1-с и с, то D является функцией с. (Такой вид J"в
отвечает модели твердого раствора замещения ферромагнитных атомов в
немагнитной матрице, где с-концентрация магнитных атомов.) Согласно [145]
(см. также [146]), D положительна при всех концентрациях, больших
некоторой граничной концентрации с0, которую называют порогом протекания
в задаче узлов [1, 145]. Так, для объемноцентрированной трехмерной
решетки с0 =*0,178, и поэтому в трехмерном случае, в отличие от
одномерного, относительное число мест решетки, в которых У"в равно нулю,
может быть весьма значительным, а асимптотика плотности состояний тем не
менее имеет вид
Cd (EfD(c))d^~l.
*) Это предположение становится весьма естественным и правдоподобным,
если трактовать (19.8) как уравнения движения гармонической решетки.
Тогда низкоэнергетические волновые функции есть просто звуковые волны,
каков бы ни был характер неупорядоченности.
238
Лишь при с < с0 такое поведение р (Е) должно сменяться более медленным.
Если, например, предположить, что
Е (к) - D (с) к2 + Е/с4 +...
(согласно [146], затухание рассматриваемых низкоэнергетических
возбуждений в определенных случаях пропорционально /с5), то при с < сд,
когда D (с) = 0, получаем
01У>(?)~?*/4-
§ 20. Одна простая модель. Обсуждение структуры
флуктуационных состояний
Рассмотрим теперь весьма простую одномерную модель, в которой
асимптотические формулы, полученные выше в этой главе и в гл. II,
оказываются точными. Это позволяет думать, что структура состояний в этой
модели и поведение более сложных, чем плотность состояний, величин,
которые в этом случае также могут быть вычислены точно, будут, хотя бы
качественно, отвечать тому, что имеет место в более реалистических
моделях во флуктуационной области спектра. • Дискретный вариант такой
модели был предложен в [150].
Сама эта модель есть предельный случай kQ = + оо модели Фриша-Ллойда
(5.21). Потенциальный рельеф в ней представляет собой последовательность
приставленных друг к другу бесконечно тонких и высоких потенциальных
стенок, координаты которых Х; таковы, что расстояния уу - х;-+1 - х}-
являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с
плотностью вероятностей /(у) - I"1 ехр(-у/l)*). Выражаясь математическим
языком, можно сказать, что гамильтониан есть ортогональная сумма
операторов Ну, каждый из которых определяется уравнением Шредингера на
интервале (ху, Ху+1) с нулевыми граничными условиями на концах. Спектр в
этой модели является чисто дискретным и состоит из чисел ?лу = я3ла/#/*
.п=1, 2, ... Так как вероятность совпадения любого числа уровней равна
нулю для любой непрерывной Дг/), то в каждой реализации, т. е. в каждой
выборке интервалов {г/у}, все уровни с вероятностью 1 'невырождены. Кроме
того, в полном соответствии с общей теорией, они заполняют плотно любой
интервал оси энергий.
Функция Грина такой системы имеет вид
G(x, х'\ Я + Й>) = 2!х/(*)%7(*')Су(*, Е+Ю), (20.1)
*) Мы ограничиваемся таким видом плотности вероятностей исключительно в
целях его простоты. Получаемые ниже выводы в значительной степени не
зависят от вида этой функции.
239
где
j 1, X?(Xj, Xj + i)
a
Gj (x, x'; E + i 0) =
sin [Y~E{x-x;))(sin(Vr?' (лгу+x-*')) V~E sin (VEyj)
Отсюда получаем, что плотность состояний в данной модели есть
Мы получили точную в этой модели формулу (5.36), возникшую первоначально
в § 5 в результате приближенного способа решения рекуррентного
соотношения (5.31) в области ?<<$/"2, k\. Из результатов п. 6.7 (см.
(&.76)) следует, что (20.2) дает правильное выражение для 1пр(?) в модели
из п. 6.7 при Е -> + 0. Что же касается предэкспонендиального множителя,
то, как можно показать на основании результатов [53], он тоже оказывается
правильным.
Вычислим теперь корреляционную функцию /^(х; Е) (см. (4.6)):
дающую, согласно (4.3), квантовомеханическую вероятность того, что
частица, в начальный момент находившаяся в точке 0, через бесконечное
время окажется в точке х, и служащую критерием локализации Андерсона
волновых функций в окрестности точки Е. Пользуясь формулой (20.1),
найдем, что
При х -> оо эта величина тоже будет убывать экспоненциально, если, как
это было принято раньше, / (у) - 1~х ехр (-у/l). Однако теперь, глубоко
во флуктуационной области спектра, это убывание происходит не на длине
локализации (2у)-1 из (10.1), как это было в области больших энергий (см.
п. 10.2), где у-1 была мак-
240
ил г
р.(х\ ?) = lim |<|G(0; ? + ?8)|*>,
6-S-+0 Л
Р"(х;Е)=- V f (JEL^ j^i _|__LC0S (*/?)) х
x( 1 * ^ E ^ 1 sin (2x
\ tm J ~r mt
симальным расстоянием в задаче, а на длине /, фигурирующей в f(y).
В частности, при я - 0 получим, что
^рех?(~тН)' ?^+0-
*•">;
п=1 I . .
______________ JZ -> ОО.
4л/ Е
Сравнивая рю (0) и плотность состояний при малых энергиях (20.2), видим,
что обе эти величины экспоненциально малы при Е -> +0 по причине
экспоненциальной малости вероятности появления больших интервалов г/у-.
