Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
переходного отс0" 1 До с0 & с слоя. Чтобы показать это, запишем основную
систему уравнений (18.11), (18.12) несколько иначе:
о' (С,)-o' (с) = In = - 'Р.,
Со (1 - с)
- ДЧ^ + / (е -с0 (х)) Ч'0 = 0.
8 И. М Лифтииц и др.
225
Здесь мы воспользовались тем, что и (г) - острая функция по сравнению с
ф0(г), перешли к новым переменным х = г/г0 и ?0= = ф0 (р/Го-2)7*-
Исключая из этой системы и считая флуктуации изотропными, получаем
уравнение для с0(х):
4 + ^4 + (?-^)(4)W(e-O^ = 0, (18.22)
где х (с0, с) = о (с0)-с (с) - (с0-с) а' (с). Если пренебречь
неодномерным слагаемым (d- 1) х~%, что будет впоследствии оправдано, то
уравнение (18.22) решается точно:
M)W(e-e0)(?)4?f
В случае решеточного газаа(с0)=^ - c0lnc0 - (1 - с0) In (1 - с0) это
решение имеет вид
п
1 -с/ j
(18.23)
Экстремальные флуктуации будут почти прямоугольными, если переход от
значений с ~ с к значениям, близким к cmax = 1, происходит на малом по
сравнению с радиусом флуктуации R интервале Дг<^/?. Поскольку Дr~r0lcf, a
R^r0J~lfi на всем фер-миевском участке 1 ^е^>| 1пс|-1, то это означает,
что величина | с' [ как функция с должна быть велика по сравнению с
единицей почти во всем интервале изменения концентрации с, за исключением
узких областей вблизи с и сшах. Но из (18.23) следует, что при с<1,
|1пс|>1, эти области действительно узки, а ширина их 8с ~ | In cf'1 1,
так что указанный выше критерий прямо-угольности флуктуаций выполняется
на всем фермиевском участке спектра.
Что касается неодномерного слагаемого^ - 1)х-1Со в уравнении (18.22), то
оно оказывается всюду малым по сравнению с с", за исключением узкой
окрестности точки х0 (с" (х0) = 0), где оно мало по сравнению с третьим
слагаемым.
Таким образом, при малой концентрации с 1, | In с | 1, экст-
ремальные флуктуации имеют почти прямоугольную форму [140] при 1 ^ | In
с ]~1. Естественно поэтому применить следующую
процедуру получения плотности состояний [138]. В соотношение
(18.10) подставляется концентрация с0 (г), отвечающая флуктуации
прямоугольной формы:
[ сй, r^.R,
*<r>"U r>R. (18-24)
Из параметров с0 р R независимым является только один, так как их
связывает определенное соотношение, отражающее тот факт, что Е есть
энергия основного состояния уравнения Шредингера
J-1 (4)*=4(1 -с.Г In2 -&-)
\ с 1-с0/
Г
L
1 + ^1п Q-
226
с потенциалом~грсй (г). Поэтому, исключая, например, с0 из
(18.10), находим выражение для <b(i;, R), минимизируя которое по R
получаем
Ф(?) = штФ(?, #) = Ф(?, R{E)).
R
Если выполнены все сформулированные выше условия, то результат,
полученный с помощью такой вариационной процедуры, дает не только
правильную зависимость от энергии, но и верный численный множитель в
Ф(?), так как точное решение с0(г) при ?~?Гр близко к ступенчатой
функции.
Окончательный результат для плотности состояний в трехмерной системе в
обычных обозначениях имеет вид [138]
-Inp(?) = (r)(?) = ^ilHl^ + arcsin]/ T^)(l-#P) .
(18.25)
l>?p>|ln?-\
<b(E)=(tm)i\f(18.26)
(cm. n. 15.2 и формулу (15.9)).
Приравнивая правые части формул (18.25) и (18.26), нетрудно убедиться,
что при U - Е^ U - EKp ~ ro2Jc2\n2c выражение (18.25) приводит к меньшему
значению Ф(-Е'), чем (18.26). Если бы энергия Екр принадлежала к области
применимости обоих решений, то у плотности состояний на плоскости (Е, с)
существовала бы линия особенностей
гЦй-Е) = cQnst _ j (\Ъ,27)
7с21пас
По одну сторону от этой линии, в области, соответствующей меньшим
энергиям | Е |, плотность состояний описывалась бы формулой (18.26), а по
другую -(18.25). Такая ситуация очень близка к картине, возникающей при
описании фазовых переходов первого рода, и отвечает наличию двух
перевальных точек в подынтегральном выражении в (18.2), дающих при Е =
Екр одинаковый вклад в интеграл, представляющий собой р(?).
На самом же деле выражение (18.25) в окрестности ?Кр не является уже
точным результатом, поскольку | Екр | ^[lnc^1. Тем не менее из наличия
второго выражения для Ф (Е), которое при | Е | > j Якр ] дает основной
вклад, однозначно следует существование линии особенностей [138]. Отличие
состоит в том, что, во-первых, уравнение этой линии не имеет формы
(18.27). Во-вторых, характерная для длинноволновой гауссовской области
зависимость Ф(?) (18.26) сменяется некоторой другой, соответствую-
227
щей глубоким экстремальным флуктуациям, зависимостью, которая лишь при \Е
|^>| 1пс|-1 переходит в (18.25), а флуктуации принимают почти
прямоугольную форму (18.24). Как показано в [141], такая структура
спектра электронов может приводить к образованию флуктуонов [142] -
автолокализованных состояний электрона и примесей.
18.4. Пример скоррелированного расположения примесей. До сих пор мы
предполагали, что примеси между собой не взаимодействуют. Пусть теперь
энергия взаимодействия двух примесей, расположенных в точках г и г', есть
W (г -г'). Учет такого взаимодействия в рамках строгого подхода приводит
к необходимости рассматривать примеси как динамическую систему. Однако в
