Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
В ближней окрестности среднего потенциала плотность состояний имеет вид
(15.9), соответствующий длинноволновым флуктуациям
сменяющийся в дальней гауссовской области классической асимптотикой
(15.5):
С увеличением энергии последнее выражение переходит в классическую
пуассоновскую асимптотику (16.6):
(19.1)
(19.2)
Ви(0) -r^cJ\ \<^rl(U-E)<^cJ.
(19.3)
\E\r\^>\, lni>lni4^>l.
C CJ
233
Наконец, в окрестности истинной границы Егt имеем (см. (17.9))
Характерной особенностью этого примера является существование обеих
соответствующих гауссовскому участку спектра асимптотик, длинноволновой и
классической. Необходимые условия для этого
2. Пусть теперь концентрация примесей мала: |1п(с/)|^>1. Тогда на всем
гауссовском участке, в отличие от примера 1, реализуется лишь асимптотика
(19.1), соответствующая длинноволновым флуктуациям:
Кроме нее здесь проявляются обе пуассоновские асимптотики -
(16.14) и (19.3). В конкретном случае м(г) = - /(r0ch(г/г0))-2
плотность состояний на ближнем пуассоновском участке имеет вид
который переходит с увеличением | Е [ в классическую пуассонов-скую
асимптотику (19.3).
В окрестности истинной границы для Ф(?) получаем (19.4).
В отличие от предыдущего примера,, в этом случае переход от гауссовской
асимптотики (19.1), соответствующей длинноволновым флуктуациям, к
классической пуассоновской (19.3) происходит не через классическую
гауссовскую асимптотику (19.2), а через асимптотику (19.5), справедливую
на ближнем пуассоновском участке. Подробное исследование показывает, что
не существует набора параметров с и для которого во флуктуационной
области спектра одновременно проявлялись бы классическая гауссовская
(19.2) и длинноволновая пуассоновская (19.5) асимптотики. Более того,
оказывается, что термин "длинноволновая" относится, по существу, не
столько к радиусу флуктуации R, сколько к радиусу волновой функции
основного состояния на флуктуации. При этом на длинноволновых гауссовском
и пуассоновском участках всегда г$^>г0, хотя R^>r0 в первом случае и R ~
г0 во втором. Что же касается классических участков, то для них Гф^Го.
Поэтому все сказанное означает, что на гауссовском и пуассоновском
участках спектра смена асимптотик Ф (Е) всегда соответствует монотонному
убыванию с ростом |?|.
(19.4)
выражаются неравенствами 1.
- In р (?) = Ф (?) = - у-Чп (cJ) (2 + 31Е |'/. г"), (19.5)
234
3. Своеобразная асимптотика (19.5) в длинноволновой пуассо* новской
области связана, как уже отмечалось в § 16, с чисто квантовым эффектом-
существованием в трехмерном случае критических параметров потенциальной
ямы и (г), при которых в ней появляется связанное состояние. В одномерном
случае такое ограничение для симметричной ямы и (х)=и(-^отсутствует. При
этом меняются (по сравнению с (19.5)) форма асимптотики плотности
состояний и пределы ее применимости. Для иллюстрации этого утверждения
рассмотрим одномерную систему с примесями малой интенсивности,
концентрация которых мала, так что In (//с)" In (с/)|>1. Более того,
будем пред-
полагать, что потенциал и{х) финитен (например, прямоугольная
потенциальная яма). Весь гауссовский участок при этом соответствует
длинноволновым флуктуациям
Что же касается длинноволнового пуассоновского участка, то в нем для
финитных потенциалов проявляются сразу две асимптотики. Первая из них с
точностью до перенормировки параметров потенциала совпадает с характерной
для 6-функиионных примесей зависимостью Ф (?):
Ф (?) = *±*?rj in , П9.6*
J cJ
cJ j E | r\In-4 (cJ).
Несколько большим энергиям соответствует вторая асимптотика
ф (?) - in (1-, (19.7"
J cJ
1п-в(л/)<|?|г2<^1.
Для гладкого потенциала и(х)~ - J [rech(x/re)]"* асимптотика
(19.6) не проявляется и на всем длннноватновом пуассоновсксм участке
cJ | Е | r\ 1 справедлива формула (19.7).
Поведение плотности состояний в классической пуассоновской области не
зависит от размерности задачи и поэтому описывается, как и в предыдущем
случае, формулой (19.3).
Наконец, в окрестности истинной границы получаем
ф ^?7^ 2 J 1п с f arcsin У Е/Егр
/А
ягр
¦-?)Г
|(?-?гр)/?гр|<^(/Лп(//С))-'/.
4. Рассмотрим теперь трехмерную задачу, в которой м(г) -
, v 2 /
экранированный кулоновскии потенциал: и (г) - -- ехр^-- ,
235
причем примеси взаимодействуют между собой с потенциалом W(г) - - и (г).
Такая модель описывает поведение электрона в полупроводнике с
неупорядоченными однозарядными примесями. Будем предполагать, что
параметр перекрытия сколь угодно велик, / -оо, выполнены условия сильного
легирования rs^>r0, и, кроме того, что температура замораживания Г0
высока, так что (7Vo)2^>c. Корреляционная функция случайного потенциала
имеет вид
сравнивая который с (19.2) видим, что роль параметра J в этом случае
играет величина (rs/rQyВ случае с^>1, J - (rs/r0) как следует из
результатов § 15, вся гауссовская область является классической, однако
плотность состояний, в отличие от
(19.2), имеет вид
так как учет электронейтральности образца в целом приводит к компенсации
