Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
параметров зачастую дает дополнительную возможность изучения этой новой
систематики и получения возникающих асимптотических выражений для
плотности состояний.
4.2. Обсуждение структуры спектра и критерии локализации состояний.
Опишем сначала общепринятую в настоящее время картину спектра
неупорядоченной системы. Для определенности будем говорить об уравнении
Шредингера со случайным примесным потенциалом и предположим, что спектр
заполняет интервал (Егр,оо), причем Егр - его флуктуационная граница.
В трехмерном случае при достаточно высоких энергиях движение частицы
носит квазиклассический характер. В самом деле, рассеяние на отдельной
примеси происходит, как правило, на малые углы. Существенное изменение
импульса частицы возможно лишь после большого числа столкновений, в
результате чего начальная фаза волновой функции полностью "забывается", и
поэтому движение такой частицы может быть описано в терминах классической
кинетической теории. Так как энергия предполагается гораздо большей, чем
характерная высота потенциального рельефа, то такое "диффузионное"
движение происходит в классически разрешенной области. Это означает, что
состояние частицы является инфинитным (делокализованным), т. е.
принадлежит непрерывному спектру.
С другой стороны, как было отмечено в предыдущем пункте, область спектра,
примыкающая к границе Ец>, обусловлена маловероятными флуктуациями
потенциала, а соответствующие состояния сосредоточены в основном в
области этих флуктуаций. Поэтому здесь состояния оказываются
локализованными, а спектр--дискретным (см. подробнее гл. IV и особенно §
20). Таким образом, в трехмерном случае спектр неупорядоченной системы
содержит, вообще говоря, как непрерывную, так и дискрет-
38
ную части, относительные доли которых зависят от степени
неупорядоченности системы.
В одномерном случае ситуация иная. Здесь после упругого рассеяния на
примеси частица либо сохраняет импульс, либо меняет его на
противоположный. Поэтому рассеяние нельзя считать слабым, движение
частицы не является квазиклассическим даже при высоких энергиях, и
существенную роль играет интерференция падающей и рассеянных волн,
требующая детального учета эффектов многократного рассеяния. В результате
оказывается, что все состояния одномерной системы при включении даже
слабого случайного потенциала оказываются локализованными (эти вопросы
подробно обсуждаются в гл. III).
Существование локализованных состояний является основным отличием
неупорядоченных систем от упорядоченных. В связи с этим возникает
необходимость рассматривать как величины, с помощью которых дискретная
составляющая спектра может быть обнаружена и исследована, так и величины,
на поведении которых ее существование сказывается в наибольшей мере. В
качестве первой из них рассмотрим величину
где G(r, г'; ?)-функция Грина нестационарного уравнения Шредингера, т. е.
ядро оператора эволюции ехр (- /Ш). Величина А"(г" О представляет собой
квантовомеханическую вероятность того, что частица, находившаяся в
начальный момент в окрестности точки г, окажется через бесконечное время
в окрестности точки г'.
Используя соотношение
где интегралом обозначено суммирование по дискретным уровням и
интегрирование по непрерывному спектру, можно показать, что
гии оператора Н, соответствующего фиксированной реализации потенциала.
Функция Грина G(r, г'; t), будучи функцией случайного оператора Н,
удовлетворяет соотношению типа (4.1). В силу (4.3) р"(г, г') тоже
обладает этим свойством. Но тогда рассуждения такие, как в п. 4.1,
показывают, что величина
не является случайной и может быть равна только нулю или
г
(4.3)
G (г, г';*)Ч (г) (г') dE,
(4.4)
Здесь 5] обозначает суммирование по дискретным уровням энер-
discr
(г, г') dr dr'
(4.5)
39
бесконечности. С другой стороны, из (4.4) находим, что
'S 1,
discr
т" е. рв есть число дискретных уровней с учетом их кратности в данной
реализации случайного оператора Н. Поэтому либо у всех реализаций
случайного оператора Н дискретный спектр отсутствует, либо у всех
присутствует, но тогда число дискретных уровней обязательно бесконечно.
Если подобные рассуждения применить к функции р(г, г'; Еи Е2), которая
определяется формулой, аналогичной (4.3), с ядром оператора
Е2
\e~iEtb{E-Y\)dE
Ei
вместо e~im, то окажется, что установленная нами альтернатива имеет место
не только для всей оси, но и для любого заданного интервала (Elt Е3).
Иными словами, дискретный спектр, если он вообще присутствует в этом
интервале, присутствует в каждой реализации и является весьма плотным
множеством-на любом интервале все реализации имеют одновременно
бесконечное, с учетом кратности, число дискретных уровней. (Множество
такого типа образуют, например, все рациональные числа, расположенные на
некотором отрезке.)
Предположение о том, что спектр рассматриваемых случайных операторов
может иметь столь необычную структуру, было впервые высказано в [156, 5,
29].
