Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
эффективным с квантовомеханической точки зрения. Однако этот критерий не
связан "непосредственно ни с какой конкретной кинетической
характеристикой системы. Между тем ясно, что исчезновение
делокализованных состояний наиболее радикальным образом будет влиять
именно на кинетические свойства. Так, если в данном интервале энергий все
состояния локализованы, то в случае, когда уровень ГФерми'"попадает в
'этот интервал, проводимость на постоянном токе crdc при Т - 0 должна
обращаться в нуль.
Таким образом, равенство
айс |г=о - 0 (4.9)
также является критерием локализации, причем критерием, сформулированным
в терминах важной физической величины. Из выражения (1,32) для
проводимости следует, что равенство (4.9)
44
эквивалентно обращению в нуль предельной функции <Fap (Е, ?')> при
совпадающих аргументах:
lim lim<F^(?, Е')>\е=ек -О
Е'-+Е F
(указанный порядок предельных переходов важен!).
Для свободных электронов
* F^{E, E') = 4E6a^(E~E')p°(E), Е, Е'-+ О,
где р°(Е)-плотность состояний d-мерного уравнения Шредингера с нулевым
потенциалом:
р° (Е) - (4я)~^2Г-1 (d/2-1) Ed/2~l
(Г (х) - гамма-функция Эйлера), и соответствующая статическая
проводимость, как хорошо известно, обращается в бесконечность.
Как будет показано в гл. III, в одномерной неупорядоченной системе с
достаточно быстро убывающими корреляциями статическая проводимость при
нулевой температуре равна нулю при любом положении уровня Ферми. В
трехмерном же случае, как принято считать, при не слишком большой
неупорядоченности статическая проводимость равна нулю только тогда, когда
Ер достаточно близка к флуктуационным границам спектра, в полном
соответствии с описанной выше картиной дискретного спектра. Граничное
значение энергии Ес, такое, что adcjT=0 =0 при Ер<Ес и <Jdc It^o =#= 0
при Ер~> Ес, называется границей подвижности [31].
Если же Тф 0, то при Ер<,Ее электронные транспортные явления
осуществляются в основном термически активированным путем, а при Ер^>Ес
носят'в основном зонный характер.
Качественная картина строения состояний в окрестности границы подвижности
Ес оказывается наиболее наглядной, если описывать ее в квазиклассических
терминах. Действительно, если случайный потенциал, будучи в достаточной
степени нескоррели-рованным, является в то же время весьма плавным, то
квази-классическое приближение применимо и при энергии, меньшей чем
максимум амплитуды случайного потенциала *). Области классически
разрешенного движения в этом случае достаточно велики и ограничены
плавными кривыми, и поэтому движение частицы с такой энергией можно себе
представлять как классическое. Но тогда вопрос о том, является ли
квантовое состояние при рассматриваемой энергии делокализованным или
локализованным, а соответствующее движение частиц - инфинитным или
финитным, сводится к вопросу о геометрии классически разрешенной области,
т. е. к тому, разбивается она на изолированные друг
*) Отметим, что в начале этого пункта, объясняя с помощью
квазиклассических соображений факт делокализации состояний в трехмерных
системах, мы рассматривали существенно большие зцачеция энергия.
от друга части конечных размеров или простирается через весь объем
системы. Значение энергии, при которой происходит переход от одной из
описанных геометрических картин к другой, называется уровнем протекания.
В квазиклассическом случае эта величина совпадает с границей подвижности
Ее.
Круг возникающих здесь задач составляет предмет теории протекания [1]. Не
останавливаясь сколько-нибудь подробно на методах и результатах этой в
настоящее время весьма обширной и имеющей многочисленные приложения в
физике неупорядоченных систем теории, отметим только, что окрестность
уровня протекания в ней во многом аналогична окрестности точки фазового
перехода II рода. В частности, зависимость ряда фигурирующих в ней
величин от расстояния до уровня протекания, а также от других параметров
теории имеет, как правило, неаналитический характер. Поэтому выяснение
этих зависимостей представляет собой весьма трудную задачу, требующую
использования целого арсенала средств, среди которых заметное место
занимают подход, основанный на идеях теории подобия, методы
математического моделирования и численные расчеты. Таким образом,
изучение окрестности границы подвижности даже в квазиклассическом случае
является сложным вопросом.
Если же случайный потенциал не является плавным, а это и будет
предполагаться практически на протяжении всей книги, то существенную, а
зачастую и определяющую роль играют квантовые интерференционные эффекты.
В этих условиях граница подвижности непосредственно не связана с уровнем
протекания потенциала, а потому при исследовании как ее положения, так и
поведения физических величин в ее окрестности нельзя ограничиться
использованием лишь теориц. протекания.
Промежуточное положение между обсуждавшимися двумя критериями локализации
занимает следующий, предложенный в [33] (см. также [8, 34, 35]). В нем в
