Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
качестве меры "сосредоточенности" волновой функции фигурирует не J |фя(г)
|4dr, а обычная ширина распределения [ (г) |а, т. е.
w2n= 5 (г-гя)2|фя(г)|3</г, '
где
г"=5г1'Мгма*-
Ясно, что конечность гя и wn в макроскопически большом образце
свидетельствует о том, что состояния фя сосредоточены в основном вокруг
своих "центров" гя. Естественно поэтому считать, что условием локализации
состояний, энергии которых попадают в окрестность данной энергии Е,
является конечность при V -* оо величины
A(?) = V'-1(|6(E-?J"4).
46
Покажем, следуя [33], что еслйГ
h(EF) < оо,
(4.10)
то
Оо
J Re^2(t0) < ОО, а ((?>)=? оаа (ю),
(4.11)
о
так что если энергия Ферми лежит в области локализованных состояний, то
Re a (to) при со -> 0 стремится к нулю быстрее, чем первая степень
частоты. Действительно, с помощью соотношения u%n - i (?в-?и)4 и формулы
(1.32) для проводимости при Т - 0 величина Re а (со) может быть
представлена в виде
Re а (со) = 4яе W"1 / 2 (rnm |2 б (EF - Еп) 6 (ЕР + со - Ет)\ .
'пфт /
которое в силу (4.10) эквивалентно (4.11).
Здесь уместно отметить следующее. Казалось бы, что если в каждой
реализации случайного потенциала спектр чисто дискретен и все состояния
локализованы, то факт равенства нулю величины f (Е, E) = <F (Е, Е)>, а
потому и Odcl^o очевиден, поскольку он отвечает невозможности перехода с
одного уровня на другой под действием кванта бесконечно малой энергии. Но
поскольку, как мы видели, дискретные уровни в случае пространственно
однородного 'потенциала расположены очень густо (например, так же густо,
как рациональные числа), то приведенные соображения не доказывают еще
равенство нулю статической проводимости. Это особенно хорошо видно, если
записать выражение для предельной функции f(E, Е') в предположении, что
спектр чисто дискретный:
Так как разность Еп-Ет может быть, в силу густоты спектра, сколь угодно
малой в каждой реализации, то усреднение может привести к тому, что </
(Е, ?')> при Е' -+ Е не обращается в нуль. Однако такая возможность
далеко не всегда реализуется, и, например, статическая проводимость
одномерных неупорядоченных систем оказывается равной нулю. Этот вопрос
будет обсуждаться в гл. Ill, IV (§§ 12, 13 и 20); здесь мы только
отметим, что качественной причиной этого является то, что состояния,
отвечающие близким уровням, локализованы в очень удаленных друг от друга
пространственных областях. В силу этого амплитуды
'пфт
Отсюда следует соотношение
о
f(E, E') = <F(E, ?')> =
= ( 2^ (Е-?") 5 (?' - Ет) ф; (0) ф^ (0) J Ф* (*) Ф^ (*) dx) .
47
перехода и матричные элементы скорости между состояниями с близкими
энергиями оказываются исчезающе малыми и электрон не может диффундировать
из одного локализованного состояния в другое (явление отталкивания
уровней [205, 206, 213]). Такое представление о картине локализованных
состояний позволяет понять также, каково должно быть поведение
проводимости при малых частотах, т. е. по какому закону о (to) обращается
в нуль при со -у 0. Для этого, следуя [8, 31], оценим среднюю скорость
поглощения энергии в единице объема за счет переходов, вызванных внешним
электрическим полем частоты со и амплитуды Е. Так как величина таких
потерь есть 1/а°гЕ2 *), то ясно, что низкочастотная проводимость при
нулевой температуре пропорциональна произведению числа совершающих
переход электронов в узком слое толщины порядка со вокруг Ер на
вероятность перехода под действием возмущения еЕг и на поглощаемую при
этом энергию со, причем полученное выражение должно быть усреднено по
различным реализациям. В результате оказывается, что с точностью до
множителей порядка единицы
о (со) ~ e2to2p2 (Ер) J | dr j2 г*"1 dr у
где dr-матричный элемент координаты между состояниями, локализованными в
ямах, находящихся на расстоянии г, d-размерность пространства. В качестве
нижнего предела в этом интеграле нужно взять величину Rffl, определяемую
условием toS>/ (Ra), где I (г)-интеграл перекрытия между рассматриваемыми
состояниями (в этом месте как раз и используется факт "отталкивания"
близких по энергии уровней, т. е. достаточная удаленность "резонансных"
ям). Предполагая, что каждое из этих состояний убывает экспоненциально,
т. е. что Ер расположена достаточно глубоко в дискретном спектре, мы
должны считать, что зависимость / от координаты имеет вид /0ехр(-г//л),
где /л--радиус локализации состояний, и тогда R^^ /л1п(/0/со). В качестве
верхнего предела в выражении для а (со) можно взять величину В то же
время матричный элемент координаты между состояниями,
коллективизированными на резонансных ямах, имеет порядок |dr|~r. В
результате приходим к следующей формуле:
о (со) " е2р2 (ЕР) (4.12)
Из изложенного следует, что локализованные состояния не должны давать
вклада в trdc |г=о" т. е. что эта величина будет отлична от нуля только в
том случае, когда в окрестности Ер
*) Основываясь на этом выражении, можно вывести и точную формулу Кубо-
Гринвуда (см. [31]).
