Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
на бесконечности. Первым из свойств неупорядоченных систем, которое всюду
ниже мы будем предполагать выполненным, является их пространственная
однородность. Оно отражает простой и понятный факт трансляционной
инвариантности в среднем, который должен иметь место в неупорядоченной
системе макроскопически больших размеров. Для уравнения Шре-дингера со
случайным потенциалом U (г) это свойство можно сформулировать, например,
как требование инвариантности любых средних вида
< ?/(Г1)?/(Г2)...У(гя)> (2.1)
относительно сдвигов всех г,-, i - 1, 2, ..., п, на один и тот же вектор
а. Этот вектор может либо быть любым трехмерным вектором, и тогда мы
имеем дело с трансляционной инвариантностью в среднем, характерной для
жидкостей и аморфных тел, либо .быть вектором некоторой правильной
решетки, и тогда вместо трансляционной инвариантности в среднем речь идет
о периодичности в среднем, характерной для неупорядоченных сплавов.
Второе свойство рассматриваемых случайных потенциалов состоит в
исчезновении статистических корреляций между значениями потенциала в
бесконечно удаленных точках. Его можно сформулировать как условие
факторизации любых средних вида
< U (г, + а)... V (г. + a) U (г()... U (4)>
24
при | а | -> оо на сомножители
<U (rx) ...U (г в)>, ф (гО .. U (г'т)>.
Удобная для дальнейшего формализация описанных свойств случайного
потенциала получается, если воспользоваться некоторыми понятиями,
аналогичными тем, которые обычно используются в статистической механике
(см., например, [12, 13]) и хорошо известны в выросшей из статистической
механики области математики, которая называется эргодической теорией
[14].
Обозначим через Q пространство, точками которого будут отдельные
реализации потенциала V (г). Введем в Й зависящий от вектора а оператор
сдвига Та с помощью соотношения
Та?/ (г) = U (гЧ-а). (2.2)
Пространство й, оператор Та и свойство пространственной однородности
потенциала играют в данной ситуации ту же роль, что и фазовое
пространство, оператор динамической эволюции и теорема Лиувилля в
статистической механике. Пусть й'- инвариантная часть й, т. е. такая его
часть, каждая точка которой не выходит из нее под действием Та при любом
а. Посмотрим, чему может быть равна вероятность р подпространства Й', т.
е. его относительная доля в Й, при наших условиях на потенциал. Так как
й' инвариантно относительно Та, то р равна вероятности общей части
множеств й' и ТаЙ' при любом а. При а-*оо, согласно нашему предположению
об исчезновении корреляций, вероятность этой общей части равна
произведению вероятностей множеств Й' и ТаЙ'. Но так как в силу
пространственной однородности вероятности Й' и Тай' совпадают, то эта
вероятность есть р2. Таким образом, имеем соотношение р2~р, откуда
следует, что р может быть равна либо 0, либо 1. Это означает, что наше
фазовое пространство й метрически неразложимо, т. е. не может быть
разбито на нетривиальные инвариантные части. Но тогда, согласно
эргодической теореме Биркгофа [14], для любого функционала / [U] от
случайного потенциала при каждой фиксированной реализации последнего
имеет место соотношение
lira ^-ГцТ,?/]<й=<Щ/]>, (2.3)
У^°° V
выражающее собой факт равенства пространственных и фазовых средних.
Подобное соотношение, в которое вместо пространственного среднего входит
среднее по времени, обычно предполагается справедливым в статистической
механике, составляя содержание известной эргодической гипотезы [12-14].
Однако существенное отличие теории неупорядоченных систем здесь состоит в
том, что свойство эргодичности по пространству можно сравнительно просто
проверить практически во всех интересных случаях, в чем мы неоднократно1
убедимся в дальнейшем. Весьма простой, но важ-
25
ный пример осуществления такой проверки приведен в следующем пункте.
2.2. Пример примесного потенциала. Типичным примером, обладающим всеми
сформулированными выше свойствами, является потенциал (1.7):
^ (г) = 2 и (г -г,), (2.4)
/
где точки гj взаимно независимы и распределены равномерно по пространству
с плотностью п, а функция и (г) - потенциал отдельного атома -быстро
убывает при |г|-"-оо (достаточно, чтобы
выполнялось условие ^ | и (г) | dr < оо).
Пространственная однородность потенциала (2.4) очевидна. Для
доказательства свойства исчезновения корреляций удобно вместо моментов
(2.1) рассматривать их производящий функционал Ф[^], определяемый так:
фМ = (ехр $?(!•)?/ (г) dr),
через который моменты (2.1) выражаются с помощью операции функционального
дифференцирования:
<U (г.). ¦ .U (г")> = х-,
v (ri)... (гЛ) g=о
Для потенциала (2.4) производящий функционал имеет вид
фп[?]=ехр {nj [exp Jg(r')tt(r-г')dr' - l]dr) . (2.5)
Действительно, (2.4) можно понимать как предел при N->-оо, V-> оо, NV-'-
rti случайной функции
^iv(r)= 2 и (г-гу),
/ = 1
где независимо друг от друга распределенные по объему V точки Гу, / = 1,
2, ..., N, все имеют плотность вероятностей К-1. Поэтому
(exp \g{r)U (r)dr) =
