Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Это значит, что тензор Q,-A(k) должен быть ортогонален волно: вому
вектору
Q,*(k)ft* = 0. (51.4)
В частности, в кристалле кубической симметрии тензорная зависимость Qik
сводится к членам вида 6/й и ktkk\ т (51,4) следует тогда, что
(к), (51,5)
где Q (к)-скалярная функция.
Для дальнейшего выберем калибровку потенциала, в которой divA(r) = 0. Для
фурье-компонент это значит, чтокА(к)=0. Поэтому связь (51,3) между током
и потенциалом сведется к равенству
j (к) = - Q (к) А (к), (51,6)
т. е. будет определяться лишь скалярной функцией Q (к).
Лондоновскому случаю отвечает предельное выражение Q (к) при к-*0. Это
выражение легко найти, применив к обоим сторонам уравнения (44,8)
rot j = -е-^ rot А J тс
оперицию rot и учтя равенство divA = 0. Заметив, что в силу уравнения
непрерывности также и divj = 0, получим
J me
В неограниченном пространстве для везде конечных функций j (г) и А (г)
отсюда следует, что и
ИО = -5* А (г), (51,7)
т. е. значение тока в каждой точке определяется лишь значением потенциала
в той же точке. Такое же равенство имеет место между фурье-компонентами j
(к) и А (к), и сравнение с (51,6) показывает, что Q (к) дается не
зависящим от к выражением*)
<?(к)=^ = 4-^Г при к -0. (51,8)
2) В этом и следующих параграфах лондоновская глубина проникновения
U "ЩЯАТП О V9V Аг
обозначается как бх,.
§ 51] СВЯЗЬ ТОКА С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ В СВЕРХПРОВОДНИКЕ 249
Дальнейшее содержание этого параграфа состоит в вычислении Q (к) для
модели БКШ, под которой подразумевается, как уже говорилось, изотропный
вырожденный ферми-газ со слабым притяжением между частицами
(электронами). В то же время предполагается, что эти частицы
взаимодействуют с магнитным полем своим зарядом е.
В § 42 были написаны уравнения (42*,5) для температурных гриновских
функций ферми-газа в отсутствие внешнего поля. Введение магнитного поля
осуществляется заменой оператора
V -*- V - ieA/c в гамильтониане Я(0> (7,7) *). Такое же изменение
возникает, следовательно, в уравнении (7,8) для Ф и соответственно замена
V->\ +ieA/c в аналогичном уравнении для Ф+; то же самое относится,
очевидно, и к уравнениям для и
Чш. Спиновый же член (~аН), отвечающий прямому взаимодействию магнитного
момента электрона с полем, мал и им можно пренебречь в гамильтониане и
уравнениях. При воздействии оператора V на функции $(т, г;т', г') и <F
(т, г; т', г') дифференцированию подвергаются соответственно операторы
f^(r, г) иД^т, г). Поэтому и в уравнениях (42,5) введение магнитного поля
осуществляется теми же заменами V -t-VT ieA/c.
Наличие внешнего поля нарушает пространственную однородность системы, в
результате чего зависимость гриновских функций от аргументов гиг' уже не
сводится к зависимости от г-г'; от аргументов же т и т' функции по-
прежнему зависят только через разность т-т'. Мы запишем уравнения сразу
для фурье-комлонент по т-т':
+Ш Г F А<г>Г + И} * Г' Г'} +gSW (?': Г* Г'} = 6 (Г)'
{51'9)
+2-k [7 + Т А W]2 + ^} Г &•' г- г')-?3*3 (С,; г, г') = 0.
В случае слабого поля, который мы только и будем здесь рассматривать, эти
уравнения могут быть линеаризованы; полагаем
S = S<o) -4-S<i>
_ _ _ (51,10)
r=r<o>+fr<1>
(где первые члены-значения функций в отсутствие поля, а вторые-малые
поправки, линейные по полю) и сохраняем в уравнениях лишь члены первого
порядка малости по А.
1) Ниже в этом параграфе (в уравнениях (51,9-19)) полагаем А-1.
250 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ [ГЛ. V
При этом надо иметь в виду, что наличие поля меняет также и конденсатную
волновую функцию S, не сводящуюся в этом случае к постоянной. Это
усложнение, однако, отсутствует при выбранной нами калибровке векторного
потенциала, в которой
div А =0. (51,11)
Действительно, поправка первого порядка (к постоянному значению S'01) в
скалярной функции S (г) могла бы быть лишь пропорциональной div А и при
условии (51,11) обращается в нуль. Поэтому с требуемой точностью можно
положить в линеаризованных уравнениях g S =.g-E(0> = А, где Л-щель в
энергетическом спектре газа в отсутствие поля (вещественная величина).
В результате линеаризованные уравнения (51,9) принимают
вид
(Ks + 2~+ И) (?,; Г, г') + ЛГ1(Б/, Г, г') =
= ^cA(r)v3(0>(S*; г-г'),
(51,12)
(-*?* +5й+0г'1> (L; r' r')-A55tl)^; г> г') =
= - 7^ А (г) ^(0)(С/, г-г')-
В виду линейности этих уравнений по А достаточно решить их для одной из
фурье-компонент поля, т. е.
А (г) = А (к) е1кг, кА(к) = 0.
При таком А (г) зависимость функций $(1) и ёГш от r-fr' можно сразу
отделить, положив
S(l,(k; г. r')=g(?,; г-г') ёк <г+г')/2,
Г(1)(^;г. г') =/(?,; г-г') е'к <г +г')/2.
Так, первое из уравнений (51,12) принимает после этого вид
2т ( ^ ~^~~2 ^ Iх] & г Г) г г ) -
= ^ A (k) eik <'-''>/* vF(0) (?,; г-г')
и аналогично для второго уравнения. Произведем теперь фурье-
преобразование функций g и / по г-г'. Окончательно прихо-
(51.13) суммы
(51.14)
§ 51] СВЯЗЬ ТОКА С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ В СВЕРХПРОВОДНИКЕ 251
дим к следующей системе двух алгебраических уравнений:
g (?*> Р) + А/ (?s> Р) -
