Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
плоским волнам (см., например, задачу в V § 147).
В данном же случае разложение следует производить по собственным функциям
"уравнения Шредингера"
2L = (49,3)
отвечающего гамильтониану (49,1). В § 47 уже было отмечено, что это
уравнение формально совпадает с уравнением Шредингера для движения
частицы (с массой 2т и зарядом 2е) в однородном магнитном поле. Его
собственные функции нумеруются одним дискретным (п) и двумя непрерывными
(рх, рг) квантовыми числами, причем собственные значения зависят только
от п и рг (ось г в направлении ф) и даются формулой
е("+|, p.) = ("+|)j#"+4; (".О
число различных собственных функций с заданным п, значением pz в
интервале dp2 и всеми возможными рх есть
у ЩЬ_йр,
(2я %)*с
(см. III § 112).
Обозначим, для краткости, совокупность чисел п, pz, рх одним символом q и
напишем разложение функции т|з(г) в виде
Ч> = 2<УМг), (49,5)
ч
где cq - Cg-\-ic'g-произвольные комплексные коэффициенты, а собственные
функции предполагаются нормированными условием
^ 1 (a cfV = 1 (интегрирование производится по объему металла).
Подстановка разложения (49,5) в (49,1) позволяет прежде всего перейти от
интегрирования по объему к суммированию по q. Действительно,
проинтегрировав первый член по частям, приводим (49,1) к виду
AF[i|>] = - 2L "of? + dV.
§ 49] ДИАМАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ ВЫШЕ ТОЧКИ ПЕРЕХОДА 241
Подставив сюда (49,5) и учтя, что каждая из функций ^ удовлетворяет
уравнению (49,3) с Е - Еч и что собственные функции с различными q
взаимно ортогональны, получим
Af№] = S|c,l* (?,+*)¦ (49,6)
Q
Функциональное интегрирование в (49,2) означает интегрирование по всем
dc'qdc'q. После подстановки (49,6) интегрирования по всем этим переменным
разделяются и дают
/ ДF \ тг пТ
ехр(
или
(ад
я
В терминах квантовых чисел п и р2 это выражение записывается как
AF = - V Г In --"Jv-. dpz. (49,8)
(2п%)%с J Е (pz, п-(- /2)-\-а
п -00
Эта сумма расходится при больших Е, но расходимость в действительности
фиктивна и связана лишь с тем, что исходная формула (49,1) применима
только при медленно меняющихся функциях ij)(r): изменение должно быть
мало на расстояниях ~|0. В терминах собственных значений Е9 это значит,
что допустимы лишь Еч<^Ъ?1т\\. Обрезав сумму по п при некотором большом
N, удовлетворяющем поставленному условию, воспользуемся формулой Пуассона
N N
? /(п+~)да С/(х)dx - ~ /' л-о ' ft
(см. V (59,10)). В применении к (49,8) первый, интегральный, член этой
формулы дает, как легко понять, не зависящий от 1$ вклад в свободную
энергию; этот член не нужен для вычисления магнитной восприимчивости, и
мы его опустим. Во втором же члене можно положить теперь N->-оо (так что
параметр обрезания выпадает из ответа)1):
AF = V
е*Тс& Г dp,
48пг%тсг J а + р\14т
!) В коэффициенте положено Т и Тс. При Т вблизи Тс существенные в этом
интеграле значения рг - У та ~ (Г) < ?/g0, т. е.
удовлетворяют
поставленному требованию.
242
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. V
Окончательно, после взятия интеграла,
AF = V_____--------- (49 9)
24Лс2 /SJ ( '
Отсюда магнитная восприимчивость
х - -тж° - .Sfc-( <49Л0)
(Я. Schmidt, 1968; Л. Schmid, 1969). Мы видим, что вблизи точки перехода
восприимчивость возрастает как (Т - Тс)~1/2. В этой области (49,10)
представляет собой основной вклад в магнитную восприимчивость нормального
металла.
Задачи
1. Определить магнитный момент тонкой (толщина d<^.% (Т)) пленки в
перпендикулярном ее плоскости слабом магнитном поле при температурах Т >
Тс,
т-те^тс.
Решение. Конечность толщины пленки приводит к дискретности квантового
числа pz в (49,4), причем для тонкой пленки надо ограничиться в (49,7)
лишь значением р2 = 0 (уже первое отличное от нуля значение pt~%jd, так
что Е ~ fi2jmd2 ft2/m|2 ~ а). Число собственных функций с заданными п и
рг (и всеми возможными рх) есть 2 | е |§S/2nfc, где S - площадь пленки;
поэтому суммирование по q в (49,7) надо понимать как (^S/n^c)'^- Применив
п
к сумме формулу Пуассона, получим в результате
р2Т
л F- <>
24ятс2а '
Магнитный момент пленки
.. дА F с е2Тс&
М =---------= - S
3§ 12птс2а(Т - Тс)
Обратим внимание на то, что он возрастает при Т -*¦ Тс быстрее, чем в
случае неограниченного металла.
2. То же для шарика радиуса R<^.^,(T) (В. В. Шмидт, 1966). Решение. В
этом случае из всех собственных значений уравнения (49,3) существенно
лишь одно, наименьшее, отвечающее собственной функции -ф = const и равное
E0 = e2R2$Q2/lOmc2 (см. все сказанное по этому поводу в задаче к §47).
Сумма (49,7) сводится к одному члену, и магнитный момент
Тс дЕ0_________e2TcR2fc
a d)g 5mc2a (Т - Тс)
§ 50. Эффект Джозефсона
Рассмотрим два сверхпроводника, разделенных тонким слоем диэлектрика. Для
электронов этот слой представляет собой потенциальный барьер, и если слой
достаточно тонок, то существует конечная вероятность их проникновения
через него путем квантового туннелирования. Даже если коэффициент про-
§ 501
ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА
243
пускания барьера мал, его отличие от нуля имеет принципиальное значение:
