Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
ферми-поверхности (т. е. при p = 2pFn), является функцией направления п
(а не константой, как при спаривании с 1 = 0). В силу антикоммутации гр-
опе-раторов функция Fa$ (п) антисимметрична, как и следовало, по
отношению к перестановке частиц: /7ap(n)=: - F$a (-п).
2) Отметим, что если бы были все а; > 0, то переход отсутствовал бы и
формула (54,6) для была бы справедлива при всех температурах вплоть до Т
- 0. При этом все стремились бы при Г ->-0 к нулю по закону os 1/| In Т
|. Это является йроявлением упомянутого в примечании на стр. 41 факта
обращения при Т - 0 в нуль функции сГ (а с нею и функции взаимодействия
квазичастиц /) для частиц с противоположными импульсами.
2) Переход происходит при температуре -10-3 К. Заметим, что малость
Тс обеспечивает существование области применимости теории нормальной
ферми-жидкости к жидкому Не3.
(54,10)
264
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. V
При спаривании с / = 1 (как и с любым нечетным моментом) Faр- нечетная
функция п, так что Fap - симметричный спинор. Это значит, что спин пары
равен единице, как и должно быть для состояния двух одинаковых фермионов
с нечетным /. Симметричный спинор второго ранга эквивалентен вектору,
который обозначим через d. В случае 1-1 зависимость d от п должна
отвечать полиному Лежандра Pj(cos0), т. е. быть линейной: d{ - ^iknk.
Комплексный тензор второго ранга tyik (не обязательно симметричный!) и
описывает сверхтекучую фазу. Реально существуют две различные
сверхтекучие фазы жидкого Не3, различающиеся видом тензора tyik.
ГЛАВА VI
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
§ 55. Электрон в периодическом поле
Электронные оболочки атомов в кристалле сильно взаимодействуют друг с
другом, в результате чего уже нельзя говорить об уровнях энергии
отдельных атомов, а лишь об уровнях для совокупности электронных оболочек
всех атомов тела в целом. Характер электронного энергетического спектра
различен для разных типов твердых тел. В качестве предварительного шага
для изучения этих спектров необходимо, однако, рассмотреть более
формальную задачу о поведении отдельного электрона во внешнем
пространственно-периодическом электрическом поле, которое служит моделью
кристаллической решетки. Этому посвящены §§ 55-60.
Периодичность поля означает, что оно не меняется при параллельном
переносе на любой вектор вида a = n1ai + n2a2 j-nsа3 (где а*, а2, а3 -
основные периоды решетки; щ, п2, п3-целые числа):
U (г + а) = (У (г). (55,1)
Поэтому и уравнение Шредингера, описывающее движение электрона в таком
поле, инвариантно относительно любого преобразования г-*г + а. Отсюда
следует, что если гр(г) есть волновая функция некоторого стационарного
состояния, то г|)(г + а)тоже есть решение уравнения Шредингера,
описывающее то же самое состояние электрона. Это означает, что обе
функции должны
совпадать с точностью до постоянного множителя: ip(r + a) =
= const -г|) (г). Очевидно, что const должна быть равна по модулю
единице; в противном случае при неограниченном повторении смещения на а
(или на -а) волновая функция стремилась бы к бесконечности. Общий вид
функции, обладающей таким свойством, следующий:
^sk (r) = eikrMsk (г), (55,2)
где к - произвольный (вещественный) постоянный вектор, a usk -
периодическая функция
Usk (r + a) = "sk (г). (55,3)
266
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
Этот результат был впервые получен Ф. Блохом (F. Bloch, 1929); волновые
функции вида (55,2) называют функциями Блоха, и в этой связи об электроне
в периодическом поле часто говорят как о блоховском электроне.
При заданном значении к уравнение Шредингера имеет, вообще говоря,
бесконечный ряд различных решений, отвечающих бесконечному ряду различных
дискретных значений энергии электрона е (к); индекс s в t|;sk нумерует
эти решения. Такой же индекс (номер энергетической зоны) надо приписать и
различным ветвям функции е = е^ (к)-закону дисперсии электрона в
периодическом поле. В каждой зоне энергия пробегает значения в некотором
конечном интервале.
Для различных зон эти интервалы разделены "энергетическими щелями" или же
частично перекрываются; в последнем случае в области перекрытия каждому
значению энергии отвечают различные (в каждой зоне) значения к.
Геометрически это означает, что изоэнергетические поверхности, отвечающие
двум перекрывающимся зонам s и s', находятся в различных областях k-
пространства. Формально перекрытие зон означает вырождение- различные
состояния обладают одинаковой энергией, но поскольку этим состояниям
отвечают различные значения к, то это не приводит к каким-либо
особенностям в спектре. От общего случая перекрытия надо отличать
пересечение зон, когда значения ef(k) и es, (к) совпадают в одних и тех
же точках к (изоэнергетические поверхности пересекаются). Обычно под
вырождением понимают только такой случай; пересечение приводит к
появлению определенных особенностей в спектре.
Все функции гр3к с различными s или к, разумеется, взаимно ортогональны.
