Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
rise n 121 и Rhin [ 3 J получе н ы коли чест ве иные уточнения зтогф р ез
ультата. Дэвенпорт (D avenport [6 j) п р и ме н и л результат Корн? блюма
для изучения примитивных элементов.
Карлиц (Carlitz [151, [95], [991) рассматривал распределений]
неприводимых многочленов от нескольких переменных; эта рй бота продолжена
статьями Cohen S. D. fi], [3] и Fredman [2]|я В статье Prabhu, Bose П j
предлагается способ оценки числа ищ приводимых многочленов в кольце Fq
[хг, ,,.,хп] с заранее заэ данными степенями по каждой переменной xh
Карлиц (Carlitz [12 If назвал многочлен от нескольких переменных
факторизуемым) если его можно разложить в произведение линейных
сомножителе!; над некоторым конечным расширением поля В этой же р$| боте
найдено число факторизуемых многочленов и число не при во* димых
факторизуемых многочленов данной степени над ?" Факторизуемые многочлены
изучались также в работах Agou [ТI Carlitz. [15], Long 1.1 1, 12 К [5] и
Williams К. S. [14 L Об абсолюте^ неприводимый многочленах от нескольких
переменных см. § 4 гл, 6,
Щ
I
с vs
Комментарии
173
§ 3. Теоремы 3.35 и 3.37 для конечных простых полей доказаны Серре
(Serret [23); см. также Albert [3, ch. 53 и Dickson [7, part I, ch. 3 3.
Прямой метод получения неприводимых многочленов данной степени и данного
порядка исследовался Голомбом (Golomb [8 3). Теоремы 3.38 и 3.39 были
доказаны в статье Day-kin 16 3. Эта статья содержит и другие результаты о
характеристических многочленах ft для степеней а* элемента а ? Для случая
примитивного элемента а алгоритм вычисления характеристических
многочленов /{ был описан в работе Alanen, Knuth [21, Голомб (Golomb [63)
дал алгоритм нахождения минимального многочлена для степени а* элемента а
по минимальному многочлену самого элемента а над р2; см. также Gordon [I
3. В случае когда минимальный многочлен элемента а над f2 является
трехчленом, см. также Bajoga [| ] и Bajoga, Walbesser [I 3. Алгоритмы для
нахождения минимальных многочленов обсуждаются также в книгах Berlekamp
[4, ch. 4 3 и Mac Williams, Sloane [2, ch. 4]. Таблицы характеристических
и минимальных многочленов см. в работе Conway [13; ср. также с§ 1 гл .10.
Критерии неприводимости для многочленов вида f (я*) установлены в статьях
Agou [93, [10], [II3, Butler [2], Cohen S. D. [2 J, Pellet [7 3,
Petterson [33HSerret [2], [3 3. Связь между порядками многочленов f (х*)
и f (x) изучается в работах Berlekamp [4, ch. 6 3 и Варшамов, Ананиашвили
(13.
Другие классические методы построения неприводимых и примитивных
многочленов можно найти в работах Albert [3, ch. 53, Dickson [33, [7,
part I, ch. 33, Pellet [43, [53 и Serret [23. Алгоритм построения всех
неприводимых многочленов над конечным простым полем был предложен в
статьях Popovici [13, [21, В работах Rabin [| 3 и Calmet, Loss [I 3
описаны вероятностные алгоритмы для построения неприводимых многочленов.
Вар-шамов и Антонян [13 описали метод построения новых неприводимых
многочленов над полем р2, исходя из данного неприводимого многочлена; см,
также Варшамов [23. В статьях Swift [13 и Вар-шамов [4 3 показывается,
как строить неприводимые многочлены НаД [р2) исходя из примитивных
многочленов. В последней статье содержится также теоретико-матричный
метод построения всех ^приводимых многочленов, степени которых делят п,
исходя из некоторого неприводимого многочлена степени п. В работах kempel
[13 и Swift [13 описываются методы нахождения примитивных многочленов над
полем Рг" а Варшамов и Гамкрелидзе [I ] указывают аналогичные
конструктивные методы для случая произ-Цельного конечного простого поля
fp. В статье Alanen, Knuth 12] приведены алгоритмы для построения новых
примитивных многочленов над р", исходя из одного такого многочлена.
174 Гл, 3" Многочлены над конечными пол за ми .Я
1^Ц^'Jt ¦ ¦" ¦ ¦ S'_V:.r^^^?-',,-'-' ''-УГ~: Г ¦w-~^~-'-'-'-,iV
hrtlll i-'-iiu L^MMHWL"wj4|pM...y|Jn HIIM''W(V'IM i ¦ ¦ ¦ y! i*ws" ^-
¦S-'-i-'-'--'-i-'-vX-.ii -д* I I I I IWiWHMA^VT""""".! пшл/лд^пм >ллллл-
1^лла-амл .... I ^Л-ЛЛ^^ЛДММ.Ц^Я^Ч "-¦ "-Т-~Л ¦ ii r, , If|- ,-1йШ
j>g|S
Теорема 3,46 была доказана Пелле (Pellet [11) для конечных-Я простых
полей и Диксоном (Dickson |7t part I, ch. 3]) для произ- || вольных
конечных полей; см, также Agon [4], All
§ 4, Многие результаты этого параграфа восходят к фунда* §1 ментальным
статьям Ope (Ore [4], 15], [6 ], [73), Некоторые из ж результатов Оре
предвидел Релла (Rella III), В статье Ore [4]Я изучаются р-многочлены над
произвольными нолями характе* J| ристики р. Теория линеаризованных
многочленов над конечным^ ! полями была широко развита в работе Ore [5],
там же обобщаются я некоторые результаты из статьи Dickson [3 3 и
исследуется one* || радия символического умножения, В статье Ore 16]
изучение этих;! вопросов продолжено, в ней дается также важное уточнение
теоС?! ремы о нормальном базисе (см. теоремы 3,72 и 3,73), Та же тех"||
ника применяется Архивом (Artin [3]) для доказательства тесн|| ремы о
