Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
абстрактной точке зр***Г на такие формулы см. Knopfmacher [13, 12 3.
Карлиц (Carlitz Ц обобщил результат Диксона (Dickson [29]), дав
асимптотичес: формулу для числа неприводимых многочленов над с шЩ рыми
заранее заданными коэффициентами; см. также Cohen [73, Dress [1], Hayes
[23, Uchiyama [13, [4], Williams K. S. | и Варшамов [3], [53. В статьях
Levine, Brawley [13, Carlitz Cl и Fredman [13 изучается число
нормированных неприводим
заны Фредманом (Fredman
[13 и Вильямс (
Комментарии
171
самовозвратиых многочленов фиксированной степени. Фредман (Fredman [I])
обсуждает также подсчет числа неприводимых многочленов других типов. В
работе Golomb [61 установлено взаимно однозначное соответствие между
неприводимыми многочленами степени п над полем Tq и непериодическими
ожерельями нз п бусинок q разных цветов и тем самым определено число
таких ожерелий. См. также статью Miller R. L. [13 о других вычислительных
задачах.
В связи с теоремой 3.27 напомним, что ссылки на работы о круговых
многочленах собраны в комментариях к § 4 гл. 2.
Формула для / (q, п; х) в теореме 3.29 по существу принадлежит Дедекииду
(Dedekind [13); см. также Serret [21, [4 3, [53, Dickson [33, [7, part,
I, ch. 23, Bachmann [4, ch. 7 3 и Albert [3, ch. 53. Карлиц (Carlitz [3
3) доказал формулы для наименьшего общего кратного (см. также Walker [I
3) н для произведения всех нормированных многочленов над Tq фиксированной
степени (см. также Willims К. S. [26]). Последнюю формулу можно применить
также при вычислении произведений характеристических многочленов для
некоторых классов матриц над Fg (см. Carlitz [1043).
Таблицы неприводимых многочленов можно найти в следующих источниках:
Alanen, Knuth П 3, [2 3, Bussey [13, 12 3, Chang, Godwin [13, Church [13,
Golomb [4, ch. 3 3, Marsh [13, Mossige [13, Peterson, Weldon П 3, Гараков
[33 и в гл. 10 настоящей книги. В работе Conway [13 приведены фрагменты
более полных таблиц для конечных полей порядков рп < 1024 (р - простое
число, п > 2), в которых для каждого элемента такого поля указываются его
характеристический н минимальный многочлены над каждым собственным
подполем; см. также гл. 10 (§ 1 и таблицу В) этой книги.
Неприводимые кубические многочлены были подробно изучены в следующих
работах: Caiiier [1 ], Carlitz [1033, Dickson [9], 1293, Mirimanoff [13,
Williams К. S. [323 н Гельфанд [13,
[2]. О неприводимых многочленах четвертой степени см. Albert [3, ch. 53,
Carlitz [73 3, ПОЗЗ, Dickson. [91, Leonard, Williams [11 и Skolem [4].
Ceppe (Serret [4], [53) н Диксон (Dickson [3 3, 17, part I, ch. 3 3)
охарактеризовали такие неприводимые многочлены, степени которых являются
степенями характеристики основного конечного поля. В статье Golomb,
Lempel El Г изучаются неприводимые многочлены, задаваемые рекуррентными
соотношениями второго порядка. О неприводимых двучленах н трехчленах см.
§ 5 н комментарии к нему. Агу в статьях Agou [13, [3 3 показал, что
нормированный многочлен f (х) над FQ степени п I неприводим над Fg тогда
н только тогда, когда он делнт коэффициенты следующего многочлена от у:
\
Vtfl ^ Ф
н
Многочлены над конечными полями
Ш
, 1АЛЛЛЛЛ^Л1 , ,*, re.-.-.-.v.--'.--'-'-vр.-.-.-.-
.'.bsq¦|^"iV>'"'^~/''i'i'fX->X-'i~i~i~i-i~i~i'i~i I I ItC-TiO г^и'ьшл
^<И-WI>1-AWI ^1 I ц J ¦ ¦ -¦-. ¦?
работе Agou [31 он дает аналогичный критерий того, чтобы дан ный
нормированный многочлен был степенью неприводимого^ многочлена. В работе
того же автора Agou [9] найден критерий! неприводимости над fq многочлена
f (g (x))t где /, g С ?q Ul нормированные многочлены, причем / (х)
неприводим над Этот критерий он использует в статьях Agou [9], 113],
115щ\ 116] для характеризации неприводимых многочленов некоторый
специальных типов., таких, как / (хрГ - ах)r f (хр - х - Ш= и др,
Подобные неприводимые композиции изучаются также в § этой главы и в
статьях Cohen S. D, ['2 ], 110 ], Long 131, 14] и Ore [6 3. О композициях
вида / (.С) см, § 3.
Действие группы аффинных преобразований на множеств^ всех неприводимых
многочленов над @Д рассматривалось в pa*f боте Dodimekov И й а действие
группы дробно-линейных преоб* разованкй с коэффициентами нз простого поля
?р на множеств^: неприводимых многочленов данной степени над Fp
изучалоо^5 в статьях Brahana [1], [2 ] и Hanneken [1 ], [2], 13 С 14 L
[5] Действие той же группы при р - 2 на множестве корней непри водимых
над Fg многочленов рассматривается в работе Golomb 15Зд|
Корнблюм (Kornblum [1]) доказал для кольца fq U1 аналог!
теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогресс сии, а именно
он показал, что если g и h - ненулевые взаимщ| простые многочлены из [Г,?
нормированных неприводимых
мых по модулю h (х) с g (,v), даже при дополнительном предполо-^
;.Д
¦>г>
*'¦¦3
.х1. то существует бесконечно миопЩ| !х многочленов / (х) над р?"
сравнив!
•¦уй
\Yg
жении, что их степени deg (/) принадлежат заданной арифметичб%$ с кой
прогрессии. В статьях Artin [1 ], Cohen S. D. [7 1, Hayes [2 IjJf J oh
