Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
к 'Ш
s • * У \?'Н
§ 4. Метод Степанова-Шмидта
¦¦ж
Рассмотрим специальные типы уравнений вида F (х, у) - 0, где F С lx, р],
для которых удается установить нетривиальные результаты о числе решений
"элементарными" методами, т. е. методами, не связанными с алгебраической
геометрией или с широким использованием полей алгебраических функций.
Нашей основной целью будет доказательство ряда результатов, необходимых
для оценки некоторых сумм значений характеров из § 4 гл. 5 (см. теоремы
5.38 и 5.41).
Первым типом уравнений, который мы рассмотрим, будут уравнения вида ут -
[ (х). Следующий результат служит исходной точкой для исследования
вопроса о числе решений таких уравнений.
т
щ
¦.щ
:)т
¦Куй
%
6.45. Лемма. Пусть - конечное поле, f ? \х], т -
положительный делитель числа q - 1 и g = /("-п/т. Тогда число N решений
уравнения ут - f (х), лежащих в F§, задается формулой
N=\Tn\ + m\Tx\t
¦щ
§ 4. Метод Степанова-Шмндта
369
где Т0 - множество корней многочлена / (х) в поле jpff, а 7\ - множество
корней многочлена g {х) - 1 в Тч. Кроме того, ( Т01 + + | 7\ + | Т21 = q,
где Т2 - множество корней многочлена g (Х)т- + g (х)т~2 -f ... + g (х) +
1 в Fg.
Доказательство. Будем различать решения (х = clf у = с2) уравнения ут = /
(х), у которых с2 = 0 и у которых с2Ф 0. Число решений вида (су, 0) в
точности равно Т0. Если же с2ф 0* то для решения (су, с2) имеем / (сх) ^
0, и поскольку мультипликативная группа УД поля диклична (см. теорему
2.8), то / (су) является т-й степенью некоторого элемента из fq в том и
только том случае, когда g (су) = f (cj)(9_1)/m - I. При этом если g (су)
= 1, то существует ровно т элементов су ? Е IFJ, таких, чтоcf~f (су).
Отсюда следует, что М=\ Г0| + т\Тх\, Легко убедиться в том, что множества
Д0, Тг и Т% попарно не пересекаются. С другой стороны, для каждого
элемента с ? fq% очевидно, выполняется равенство
О = f (сУ - / (с) = / (с) (g (с) - 1) (g (с)"1-1 +
s- g М"1-2 f + g (С) -f 1).
Отсюда вытекает, что каждый элемент поля fq принадлежит одному из трех
указанных множеств. Стедовательно, | 7*0 | -f-
+ \Тг | + | Т% | - q. ?
Ключевым пунктом элементарного метода Степанова и Шмидта является
построение некоторого вспомогательного многочлена, кратными корнями
которого являются заранее заданные элементы. Доказываемая ниже лемма
гарантирует, что такой вспомогательный многочлен является ненулевым.
Будем применять следующие терминологию и обозначения. Пусть К -
произвольное поле. Многочлен положительной степени F ? К 1х, у] назовем
абсолютно неприводимым (над К)> если он неприводим (т. е. ие допускает
нетривиального разложения) над любым алгебраическим расширением поля К.
Через К (х) будем обозначать поле рациональных функций над /С, т. е.
поле, состоящее из дробей вида
//?" Л 8 € К [х], g ф 0.
6.46. Лемма. Пусть f ? fq [х] -такой многочлен степени 1 и 2 - такой
делитель числа q - 1, что многочлен Ут - / (х) абсолютно неприводим.
Положим и
пусть /у, /у, ..., hm_i - многочлены вида
U
hi (х) = 2 eij {х)&К 0 < ? < т - 1,
/=0
24 Зак. 222
370
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
'.Si
где е*7 ? F? [х] и deg (е^) -<С qitn - /г. Тогда гола
К + hig - 0, (6.18)
то гое многочлены нулевые.
Доказательство. Сначала установим справедливость леммы при дополнительном
предположении, что / (0) Ф 0. Положим
А (у; Н0, ^m-x) = Ао + hty Н- ¦ • • + /1т"х^т"1.
Тогда многочлен
:!
т
В {Ух* *"< Ут) ^ А (у(ц Ад, Ат_х)
i=l
является симметрическим многочленом от переменных ..., ут,
По основной лемме о симметрических многочленах (см. пример 1.74)
многочлен В {у1У ...,ут) можно выразить в виде многочлена от элементарных
симметрических многочленов (у1г ...,ут)> ...
'"** °т (У1, Ут}- Пусть Сх = 1, Cm - корни т-й степени
из единицы в поле положим yt - С*У" \ ^ i ^ т. Из равенства хт - 1 ^ (х -
Сх) ... (X - Cm) получаем, что а? (Сху, СтиУ) =
= 0 для всех С 1 < t < m - 1, и crm (?хг/, Cm#) = -Ут~ Поэтому В (Cxi/*
Стн#) является многочленом от ут; обозначим его G (ут). Сравнивая степени
получаем
т deg (G) = deg (В (Сху, Cm#)) < т (т - 1)
(здесь deg (G) - степень G как многочлена от ут). Отсюда следует, что deg
(G) < т- 1. Поэтому можно написать
№
щ
¦ад
• W5
rtf
т
т- I
П A (?,<,; fto. Л,"_,) = Е С( (Ао, кт.г)ут', (6.19$;
?^1 (=0 ¦
* .4
где каждый С( (как многочлен от h0t Am_x) имеет степень*!
не превосходящую т. Поскольку А (Схg\ А3, hm-i) = 0 в силу (6.18) и gl =
/?-1, из (6.19) вытекает, что
т-t
Е С,(/!0......................=
Умножая это равенство на /т~1, получим
т- 1
Е Ci (Ло,.... = 0.
i=s=Q
щ
Рассматривая последнее равенство по модулю & и замечая, что hi (х) = е/0
(х) (mod х?), / (х)? = / (0) (mod х?), получаем
т-I
? С*(ево(х), ..." ^m_i,Q(x))/(0)ff (x)m"1"1' = O(modx^).
'¦-'ЛЭ
S
*•?
§ 4. Метод Степанова-Шмндта
371
Но поскольку степень по х левой части не превосходит числа т (д/т - к) ф
(т - 1) k < qt то
т-1
2 С,(е00 en.hо)/(О)*'/"*-1-' = О,
Jssscp
откуда
т-1
У Ci (%Л ет~1"б) ~ (6.20)
