Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Fg характеристики 2
Л-1
(я-2)/2
* • Y", W>V
• ' y-vш
-хщ
с имеет единственна
AV . ,
тТ-м
.да
любого с ? то для нечетного п получаем
лУ^Д$
Ar (*i*2
л 3*4
t i t
Ь %п-2*Я-1 b *Л ^
¦::Ш
Я
ft-1
S g-f.V.*
hr.M
' v.\ •.//
О
1
поскольку для произвольно заданных значении переменных
*n~i значение переменной хп, удовлетворяющее уравнений в скобках,
определяется однозначно.
Теперь заметим, что число N (хдад = Ь) равно q - 1 при b Ф u2q - 1 при b
0, так что в обоих случаях справедливо равенсг(r)0§р N (хдхд = Ь) = q 4 v
(b). Поэтому для четного п, скажем п =
I
шш
ф:ШШ
М ш
мы получим При ?lt
* I
т
? F.
N (хгх2 4 *s*4 4 ... 4 А'п-Ид - ь)
-Ш
2 N (хгХ'
"1+¦••+Гт=й
П) •** П {хп_\Хп - Ст)
• ?*А4\:1
• r>-w
:ГЩ-
¦'¦¦{Ах
21 Cg + о (с,)]... [д + о (ст)]
е\+"'+*&=*>
т
* чЧ'е
? о (сх) ... у (гт) = р"-1 4 v (Ь) д(п-2^2, '4
*14
-У
где мы воспользовались формулой (6.5).
Осталось рассмотреть уравнение последнего типа. В этом случае указанная в
теореме формула числа решений в силу лем мы 6.31 справедлива для п -- 2.
Если же п Ф 4, то, используя
¦$
хм
¦Ш
"*
3. Диагональные уравнения
355
результат предыдущего случая и лемму 6.31, получаем (при
Сц
А (лДЛо -т- ЛуЛД -4~ • • * у- Хц-\Хп Хц-j С1Хп - б) -
= 2 N {Х1%2 Г * ' ¦ "I" -^П-З^я-З - 4l)x
^ 1 i fe
XiV {хп~[Хп 4-1 -[¦¦- ах'п ~ са) =
- 2 fa"-3 + У (Cl) фп~~^] [q - v (с2)) -
Ci 4 ^2-fe
= qn~l -4 q(n-2)/2 J у ^ _
cl€Tq
- 13 v (c2) - q(n~W2 '¦ ? у (6Д) V (съ) =---
cji?iFg Сх-\-Сг - Ь
= qn~1 - v (b) qin-2)>2f где на последнем шаге мы воспользовались
формулами (6.4) и
(6.5). ?
§ 3v Диагональные уравнения
В предыдущем параграфе мы пришли к изучению уравнений, содержащих
диагональные квадратичные формы. Такие уравнения являются частным случаем
общего семейства так называемых диагональных уравнений. Диагональным
уравнением (над конечным полем Fg) называется уравнение вида
Ят-Ч1 4- "Ьаду71 = Ь, (6.10)
где къ ..., кп ? N, аи о* ? FJ и b ? ?q.
Число решений
N - N (ад1 -j~ ¦ - - 4* апХпп = Ь)
Уравнения (6.10) в (Fj можно выразить через суммы Якоби. Если
си Сп ? Fg, то
N ^ ? N (а^1 = сг) ... N (anxln = сп) =
/* -1- % "" -i-г h Li ' Ln
= ? N (-Ч1 = ... N (xin - anlcn).
ci^----
Из (5.70) получаем
d-1 /
= 2 Я (г),
/=0
23*
• -!-!
356 Гл. 6. Уравнения над конечными полями 1Ч
ЛЙ
' у ^
• Щ
1 А
&№ / "Ж
где X - мультипликативный характер порядка d - НОД (k q - 1) поля Fg. Для
/ = 1, п пусть dt = НОД (fe(, q- I)-и Xi - мультипликативный характер
порядка dt поля fq. Тогда
АГ= S I S (ап1Сп)
Cl_j-'rcn~b \/,_0 / \/д"0
и'.Ж
х '.р
\ ."ii'. \ ¦
•га * ш
!
d1-~l dn 1 .
S ... S Я!' ("Г )... С? (аЛ) S У (с,)... Х,',п (с") =
/l-О /п-IО !'л-1----й
iPl
:Л
? ... ? Х|' (ад ... }J,r (an) ..., %hn).
/1=0 in ^0
.№
Ш
a.-iVS
5J >
' -J:l
•viM
•<•*4 *
^ j
Если (/j, ..., /") = (0, 0), то (Xi1, .... X^n) pn_1 соглас-
но (5.38) и (5.39). Если некоторые (но не все) jt равны 0, то " *
A (Xi\ khn) - 0 согласно (5.38) и (5.40). Поэтому
dt~\ , .
N = qn~x + S - Е А'^./Дя!1....Я'")- (6Л" "
/.=| /"=>
1
Щ
, I
I ф:> ,ги<Ж
' у • Н
Рассмотрим теперь два случая b = 0 и b Ф 0. Если b - 0, то из ^
• . •, S yV •
"л-"е
/] ^ /Л ад!
! *.j$
(5.41) вытекает, что если характер X}1 ... X/ нетривиален,
/ / . ¦ < . ¦ .^г
J0 (Xi\ %пп) = 0. Поэтому мы приходим к следующему Р0-7Д зультату.
i • /Г.Г. ..
...ГДф.
¦ ¦ ддщ
6.33. Теорема. Число N решений в fg диагонального уравненйШ^ а^!1 ф ... Ф
апхпп - 0 задается формулой дМ
N = цп-х + Е Я{> (а,) ...№ (а") /0 (Х!', ..., Я'п),
(hr "" ^л)€ ^
где %i -мультипликативный характер порядка dt - НОД (&" /ш q - 1) поля
Fg, 1 / < /1, и Т - множество всех п-
(/ь •••" in) € 2П, где 1 < /* < - 1, 1 < / < л, ога/сах,
* "
х!1 ... Xi* - тривиальный характер поля Fg.
Если же b Ф 0, то, применяя (5.38), получим, что
5 j. J <•
h а;'1.ф - а;'1... \!,п) ф) j (Ж CP.
Это приводит к следующему результату.
Ш
¦¦Ф
.'•'Ох
¦о4.
6.34. Теорема. Если b С Fg, то число N решений в Fg диа~ гоналъного
уравнения a1Xt1 f ... + апхпп - b задается формулой
V5.J -х<.'
¦у
d,-i
N = q"-'-1- 2 S kHbaT')-Cnn(ba-')J(xi\
A = ! /n=1
§ 3. Диагональные уравнения
357
где %i - мультипликативный характер порядка di = НОД (kit q - 1) поля Fq.
6.35. Замечание. Выведенные выше формулы показывают, что число N зависит
не непосредственно от показателей kiy а лишь от наибольших общих
делителей dt - НОД (kit q- 1). Можно поэтому считать без ограничения
общности, что в уравнении (6.10) показателями kt являются делители числа
q - 1. ?
Из теорем 6.33 и 6.34 нетрудно получить оценки для числа N. Пусть di,
..., dn - натуральные числа, и пусть М (dly ..., dn) - число д-наборов
(Д, ..., jn) ? 2", таких, что I < /г < dt - 1 при 1 < i < ft и (jjdi) +
... +ijn/dn) ?
6.36. Теорема. Число N решений в Fq диагонального у рае не-
ft
ния ftj.T]1 + ... + anXn - 0 удовлетворяет неравенству
\N-Яn~l | С Af (di dn)(q-
где di = НОД {kl9 q - 1), 1 < i < ft.
Доказательство. Из следствия 5.23 и теоремы 6.33 вытекает (в обозначениях
