Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
кольца R, содержащим М и отличным от АП так что J = R, В частности,
существуют такие r € R и т ? М, что аг j т - 1, где 1 - мультипликативная
единица кольца R. Это означает, что если а + М Ф 0 + М, т. е. класс
вычетов a -f М является ненулевым элементом фактор-кольца R!M, то он
обладает мультипликативным обратным, так как (a -f М) (г -f М) -= аг М ¦
(1 - т) f М = 1 -f- М. Следо-
32
Гл. [. Алгебраические основы
•А
вательно, R/M - поле. Обратно, пусть R/M - поле, и пусть! J - такой идеал
кольца R, что J ^ М, J ф М. Тогда для а Е / J а ф /И, класс вычетов a -f
М имеет мультипликативный обрат-1 ный, так что (а + М) (г f- М) - 1 4- М
для некоторого г Е Р,| Это означает, что аг [- т - I для некоторого т ?
М. Поскольку! J - идеал, I ? У, а значит, (1) = R е У, откуда J - R.
Таким! образом, М. - максимальный идеал кольца Р. |
(ii) Пусть Р - простой идеал кольца R. Тогда факторкольцо! RiP является
коммутативным кольцом с единицей I + Р Ф 0 -f | -j Р. Пусть (а -f Р) {Ь
4" Р) (tm) 0-4 Р; тогда ab ^ Р, Так как! Р - простой идеал, то либо а Е Р,
либо b Е Р, т. е. либо а 4-1 4- р ^ 0 4 Я, либо b + Р - 0 4 У1* Таким
образом, фактору! кольцо R/Р не имеет делителей пуля и потому является
целост-1 ным кольцом. Обратное получим сразу же, проведя указанные!
рассуждения в обратном порядке.
(iii) Это утверждение следует из (i) и (ii), так как каждое поле!
является целостным кольцом. |
(iv) Пусть с Е Р. Если с - обратимый элемент, то (с) - Щ и факторкольцо
Ri(c) состоит из единственного элемента, так что! оно не может быть
полем. Если с не обратимый и не простой эле-| меит, то с обладает
некоторым делителем а Е Р, который ней является ассоциированным с с и не
является обратимым элемент! том. Заметим, что а Ф 0, так как если а - 0,
то с = 0 и а был бы! ассоциирован с с. Пусть с ~ аЬу где Ь Е Р. Мы
утверждаем, что! а ф (с). Действительно, в противном случае а --= cd -
abd, где! d ? Р, т. е. а (I - bd) 0. Так как а Ф 0, то bd - I, значит,! b
- обратимый элемент, а это противоречит тому, что а не accoj циирован с
с. Следовательно, (с) s (а) е (Р), где все включений собственные, так что
факторкольцо Ri(c) не может быть полеЯ ввиду (i). Итак, остается
последний случай, когда с - простом элемент кольца Р. Тогда (г) Ф Р, так
как с не является обратищ мым элементом. Далее, если J ^ (с) - идеал
кольца Р, то J = (<ш для некоторого а С Р. поскольку Р - кольцо главных
идеаловЦ Следовательно, с С (")" так что а - делитель элемента с.
Поэтому! а - либо обратимый элемент, либо ассоциирован с г, так что либЩ
J - Р, либо J - (с), Это показывает, что (с) - максимальные! идеал кольца
Р. Отсюда следует в силу (i), что факторкольвдИ Rf(c) является полем.
Д!
'•\ЙЙ
В качестве приложения этой теоремы рассмотрим случай! Р - Z. Заметим, что
Z - кольцо главных идеалов, так как! в силу теоремы l.l5(i) любая
аддитивная подгруппа Z порож*| дается единственным элементом. Простое
число р подходит поДа определение простого элемента, и, таким образом, нз
теоремц'! l.47(iv) вытекает другое доказательство того известного факта*!
что факторкольцо Z,'(p) является полем. Отсюда следует, чтш|
§ 3. Многочлены
33
(р) - максимальный и одновременно простой идеал кольца Z. Для составного
натурального числа п идеал (п) не является простым в Z, и потому
факторкольцо Х!(п) не является даже целостным кольцом. Другие приложения
будут приведены в следующем параграфе, когда мы будем рассматривать
факторкольца колец многочленов над полями.
§ 3. Многочлены
В элементарной алгебре рассматриваются выражения вида + aLx + ... + onxnt
называемые многочленами (или полиномами). Здесь cti называются
коэффициентами многочлена н обычно являются действительными или
комплексными числами, а х рассматривается как переменная, т. е.,
подставляя вместо х произвольное число а, получаем определенное число а0
+ а -j-... + апап, называемое значением многочлена при х - а. Арифметика
многочленов регулируется обычными правилами. Понятие многочлена и
связанных с ним операций можно обобщить на формальную алгебраическую
ситуацию следующим образом.
Пусть R - произвольное кольцо. Многочленом (или полиномом) над R
называется выражение вида
П
f (х) = ? aiX{ = "О + aiX н + апХп,
i=о
где п - неотрицательное целое число, коэффициенты а*, 0 i ^ < /г, -
элементы кольца R, а х - некоторый символ, не принадлежащий кольцу R,
называемый переменной (или неизвестной) над R. В тех случаях, когда из
контекста ясно, какая переменная имеется в виду, мы для обозначения
многочлена / (х) будем использовать символ /. Для удобства будем считать,
что член агх{ с щ = О не обязательно выписывать. В частности, выписанный
выше многочлен / (х) можно записать в эквивалентной форме f (х) - +
!- алх + ... + апхп + 0x"+1 -f ... + 0хп+\ где h - любое натуральное
число. Поэтому при сравнении двух многочленов / (х) и g (х) над R можно
предполагать, что оба они содержат одни и те же степени переменной х.
Многочлены
