Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
I I 2 3 4 0 [ 0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 I 2 0 2 4 ] 3
3 3 4 0 1 2 3 0 3 I 4 2
4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1
(ii) Столь же прост н даже более важен пример конечного поля F2 второго
порядка. Элементами этого поля являются О и 1, и таблицы операций имеют
следующий вид:
+ 0 1 к 0 [
0 0 [ 0 0 Q
1 1 0 1 0 1
В таком контексте элементы 0 и 1 называются бинарными элементами.
Если b - произвольный ненулевой элемент кольца Z целых чисел, то его
аддитивный порядок бесконечен, т. е. из nb - О следует п ~ 0. Однако в
фактор кольце Z!(p), где р - простое число, аддитивный порядок каждого
ненулевого элемента b равен pt т. е. р - наименьшее натуральное число,
для которого выполняется равенство pb = 0. Это свойство приводит к
следующему важному понятию.
1.43. Определение. Пусть R - произвольное кольцо. Если существует такое
натуральное число пу что для каждого г ? R выполняется равенство пг - 0,
то наименьшее из таких чисел п (скажем, /tft) называется характеристикой
кольца R, а само R называется кольцом (положительной) характеристики п0.
Если *ке таких натуральных чисел п не существует, то R называется Кольцом
характеристики 0.
30
Гл. 1. Алгебраические основы
1.44. Теорема. Если /сольдо R Ф (0) с единицей е и без дели-телей нуля
имеет положительную характеристику п, то п - простое число.
Доказательство. Поскольку кольцо R содержит ненулевой элемент,
характеристика п этого кольца больше или равна 2. Если п - составное
число, то п = km, где k, т ? Z, 1 < А, т < я. Тогда 0 = tie - {km) е -
(ke) (те), так что либо ke - 0, либо те ~~ 0 (поскольку в R нет делителей
нуля). Значит, либо kr - (ke) г - 0 для всех г ? R, либо тг - (те) г ----
0 для всех г ^ /?, что противоречит определению характеристики п. ?
1.45. Следствие. Характеристикой конечного поля является простое число.
Доказательство. Учитывая теорему 1.44, достаточно показать, | что любое
конечное поле F имеет положительную характеристику. Рассмотрим в поле F
элементы е% 2е, Зе, ..., кратные единице е. Так как F содержит конечное
число различных элементов, то , существуют натуральные числа k и m, 1 < k
< mt такие, что ke - те, так что (т - k) е - 0, и потому F имеет
положитель- ? ную характеристику. ? ?
Конечное поле Zf(p) (т. е. Fp), очевидно, имеет характеристику р, в то
время как кольцо 'Z целых чисел и поле Q рацио- ; нальных чисел имеют
характеристику 0. Заметим, что в кольце R 1 характеристики 2 имеет место
равенство 2а - а + а - 0, откуда ? следует, что а =- -а для всех а ? R.
Полезно следующее свой- ; ство коммутативного кольца простой
характеристики.
1.46. Теорема. Пусть R - коммутативное кольцо характеристики р. Тогда
коммутативное кольцо простой
(а + b)t>n = аРп + Ьрп и (а - Ь)рп = аРп - Ь?п
для всех a, b ? R и п ? N.
Доказательство. Воспользуемся тем фактом, что для
А 6 N. 1 < А < р - 1,
Это следует из того, что биномиальный коэффициент
число и при этом сомножитель р в числителе не может сократиться Поэтому
по формуле бинома (см. упр. 1.8)
§ 2. Кольца и поля
31
Теперь индукцией по п устанавливается первое тождество, а из него
получаем
арп = ((а - Ь) 1 Ь)рп - (а - Ь)рп + Ь*>п,
откуда следует второе тождество. ?
Теперь выясним, каким должен быть идеал М коммутативного кольца R с
единицей, чтобы факторкольцо R/М было целостным кольцом или полем. Для
этого нам понадобятся некоторые понятия из теории колец.
Пусть R - коммутативное кольцо с единицей. Элемент а ? R называется
делителем элемента Ь ? R, если существует элемент с ? R, такой, что ас =
Ь. Делители единицы называются обратимыми элементами. Элементы а н Ь из R
называются ассоциированными, если существует обратимый элемент е ? R,
такой, что а Ьг. Элемент с ? R называется простым элементом кольца R,
если он не является обратимым элементом и не имеет других делителей,
кроме ассоциированных с ним элементов или обратимых элементов. Идеал Р Ф
R кольца R называется простым идеалом, если для а, Ь ? R включение ab ? Р
имеет место лишь в том случае, когда либо а ? Р, либо Ь ? Р. Идеал Л4 Ф R
кольца R называется максимальным идеалом, если для любого идеала / кольца
R включение М ^ J влечет за собой J ~ М или / R. Наконец, кольцо R
называется кольцом главных идеалов, если оно является целостным кольцом и
каждый идеал J кольца R является главным* т. е. существует элемент а ? R,
такой, что
/ - (а) = \ra\r d R\.
1.47. Теорема. Пусть R - коммутативное кольцо с единицей. Тогда
(i) Идеал М кольца R является максимальным тогда и только тогда, когда
факторкольцо R/М является полем.
(ii) Идеал Р кольца R является простым тогда и только тогда, когда
факторкольцо R:P является целостным кольцом.
(iii) Каждый максимальный идеал кольца R является простым.
(iv) Вели R - кольцо главных идеалов, то факторкольцо R/(c) является
полем в том и только том случае, когда с простой элемент кольца R.
Доказательство, (i) Пусть М - максимальный идеал кольца R. Тогда для а G
R, а Ф М7 множество J - \аг Д tn \ г ? € R, т ? М\ является идеалом
