Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
а) нормаль (вертикаль) в точке О к и и к плоскости опоры содержала центр тяжести G твердого тела; б) эта нормаль была главной осью инерции для твердого тела относительно точки G и, следовательно, также (см. примечание в п. 52 гл. V) относительно точки О.
Здесь на основе общих соображений, изложенных в предыдущем упраж-вении, мы хотим показать, как для тяжелого твердого тела указанного выше типа изучаются малые колебания вблизи перманентного верчения, предполагая, естественно, что только что указанные условия выполнены.
Обозначив через Gxyz систему главных центральных осей инерции Твердого тела, допустим для определенности, что ось Gz есть ось вращения
Z0 Sin 6 — V0 COS 0 —Уо -I- — I h' -|- у0 -T
Ф I Ф
f(x, у, г) = 0.
аП * I П
_ = и + »Хи = 0,
234 гл. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ, системы с циклическими ДВИЖЕНИЯМИ
в невозмущенном движении верчения и направлена от центра тяжести G К точке опоры О, которая при таком движении остается неподвижной. Относительно этой неподвижной в теле' системы осей координаты точки О будут О» 0, г„> 0, проекции угловой скорости «а верчения твердого тела — 0, 0, г0 (постоянные); при малых колебаниях около такого движения переменное положение точки соприкосновения О и угловая скорость о» будут мало отличаться от неизменного положения точки О и неизменного значения угловой скорости относящихся к чистому верчению. Поэтому, обозначив через х, у, Z0 -J- Z1 координат точки О и через р, q, г0 + є—проекции вектора «а, можно рассматривать величины х, у, z и р, q, є как бесконечно малые. Возьмем уравнение поверхности с в виде z — z (х, у) = 0 и разложим z (х, у) по формуле Маклорена. Принимая во внимание, что, так как плоскость z = Z0 является касательной к поверхности и в точке О, в этом разложении должны отсутствовать члены первого порядка относительно х, у, и пренебрегая членами порядка выше второго, уравнение поверхности и можно написать в виде
f—z~ 2O + -j (~ + 2kxyJ = 0; (9)
в этом уравнении а, Ъ, k обозначают три постоянные, которые вследствие предположения, что поверхность а является выпуклой и целиком находится выше плоскости опоры, должны быть такими, чтобы бинарная квадратичная форма, стоящая в скобках, была определенной положительной.
Из уравнения (9) следует прежде всего, что в порядке принятого приближения Zi надо прямо положить равным нулю. Далее, направляющие косинусы нормали икав точке О, близкой к О, пропорциональные частным производным dfjdx, dfjdy, df/dz, определяются на основании уравнения (9), если пренебречь членами второго порядка и принять во внимание, что нормаль а принимается направленной наружу относительно а, равенствами
Yi = ? + ky, Ъ = кх+^, Тз=1. (10)
Таким образом, из уравнения поверхности о мы получили все, что необходимо для нашей цели. Аналогичным образом мы воспользуемся другими уравнениями, которые согласно общим соображениям предыдущего упражнения надо рассмотреть.
Из уравнения dtijdt = я + w X я = 0, выражающего условие того, что единичный вектор п остается постоянно вертикальным, вводя проекции р, q, л0+є вектора <а и принимая во внимание, что Yi и Ys являются величинами первого порядка, a Y3 = 1, получим три уравнения
Ii = Wo-Я, it^ — Wo+P, Тз = 0. (11)
Условие чистого качения выражается обычно приравниванием нулю скорости точки соприкосновения О с координатами х, у, Z0, которая рассматривается как неизменно связанная с телом, так что, обозначая через
и, V, w проекции на оси, неподвижные в теле, скорости Vg центра тяжести, которые в' нашем случае должны сами рассматриваться как величины первого порядка, мы придем к трем уравнениям
U-^qz0-T0y = Q, V-^r0X-PZ0 = O, w = 0. (12)
Наконец, остается еще воспользоваться основными уравнениями движения твердого тела. В постановке Рауса, принятой в предыдущем упражнении, за центр приведения моментов принимался центр тяжести, вследствие чего пришлось в виде вспомогательной неизвестной ввести реакцию опоры Ф, которая исключалась при помощи первого основного уравнения. Ho, как и
УПРАЖНЕНИЯ
235
в§2ивп. 23§3, можно избежать введения и последующего исключения этой реакции, принимая за центр приведения точку соприкосновения О и пользуясь только вторым основным уравнением, взятым при этом в его общей форме (14) п. 7; это уравнение, вследствие того, что оси неподвижны в теле (»' =») и момент M приводится к моменту силы веса, принимает вид
?_|.« X К + V' X Q = OQ X mgn.
Поэтому нам надо получить явные выражения для проекций векторов К, Q, и V' на оси, неподвижные в теле, на которые мы намерены проектировать предыдущие уравнения. Скорость (абсолютная) Vr точки О, в которой в любой момент происходит соприкосновение, на основании теоремы сложения скоростей можно рассматривать как сумму относительной скорости (относительно неподвижных в теле осей) с проекциями х, у, 0 и переносной скорости; так как, по предположению, речь идет о чистом качении, то переносная скорость во всякий момент равна нулю, поэтому имеем
vX=*' Vv= у, v'z = 0. (13)
Количество движения Q = mvG, вследствие того, что в силу третьего из уравнений (12) проекция w скорости Vg равна нулю, имеет проекции
