Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
J4 20 (6с2+ а2)(с2 —а5) g 49 а* с
и будет автоматически удовлетворяться для сплюснутого эллипсоида (с<я),
14. Случай равновесия. Способом, аналогичным указанному в упражнениях 11, 12, можно исследовать, для тяжелого твердого тела, ограниченного какой-нибудь выпуклой поверхностью а и опирающегося на горизонтальную плоскость, малые колебания вокруг состояния равновесия. С первого
*) Как мы уже отмечали в гл. VI (пп. 21, 23), то обстоятельство, что все характеристические показатели чисто мнимые, недостаточно для обеспечения устойчивости в строгом смысле; однако оно будет достаточно для линейной устойчивости, по крайней мере вообще. Эта оговорка учитывает ту возможность, что характеристическое уравнение допускает кратные корни, наличие которых, как и в элементарном случае движений, определяемых одним линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (т. I, гл. II, п. 43, в), может поставить "под сомнение устойчивость. Это наличие кратных корней не' подвергает сомнению устойчивость в случае голономных систем, как это косвенно следует из теоремы Дирихле; для более общих систем, таких, например, как система (16'), требуется, наоборот, дополнительное исследование.
Далее, в частном случае, к которому мы здесь и обращаемся (а = Ь, Ai — Bx, Ei = E2), уравнение (19) продолжает обеспечивать устойчивость (линейную) даже и тогда, когда корни (действительные) характеристического уравнения относительно Q не являются простыми. Действительно, достаточно рассматривать это уравнение распавшимся на уравнения (18') (каждое из которых имеет корни, противоположные по знаку корням другого, и в силу соотношения (19х) положительный дискриминант), чтобы видеть, что оно имеет кратные корни тогда, когда D — mzya = 0; при этом предположении оба уравнения (16') на основании равенства (10) становятся тождественными, причем одно из них будет содержать только х, другое только у. Для каждой из этих переменных устойчивость обеспечивается неравенством (197).
238 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
взгляда можно думать, что достаточно было бы положить C0=O в формулах, установленных в упражнениях 11, 12, но таким образом мы рассмотрим только частный случай этого вопроса. Действительно, как было показано в упражнении И, движение перманентного верчения динамически возможно только в том случае, когда будут удовлетворены оба условия а) и б); для возможности же равновесия достаточным (а также и необходимым) оказывается только первое из них.
Поэтому необходимо снова начать исследование, предполагая, что точка соприкосновения О в положении равновесия относительно главных осей Яиерции Gxyz имеет совершенно произвольные координаты лго, У о, ?о- Направляющие косинусы единичного вектора п, нормального в точке О, уже не будут равны 0, 0, 1, а будут иметь значения V1, -J2, Y3, получаемые в функциях от х0, у о, Z0 из уравнения / = O поверхности с. Обозначим в возмущенном движении через х0 + JT1, у0-{-уь Z0 4-Z1 переменные координаты точки соприкосновения О и через Yii~°i» ї2 + ^> їз+®з—направляющие косинусы единичного вектора нормали ков этой точке; наравне с B1, B2, S3 мы должны рассматривать хг, уь Z1 как бесконечно малые. Подробное вычисление можно найти в упомянутом сочинении Рауса, § 253.
15. Относительно общей задачи о качении одной поверхности по другой укажем на исследования Джеббиа (Rend, del Clrc. mat. dl Palermo, т. XX, 1905, стр. 265—303) частных случаев, в которых, как и в простейшем примере, указанном в п. 52 гл. V, присоединение какой-нибудь новой связи к неголо-номной связи чистого качения позволяет рассматривать систему как голо-номную.
16. Перманентные вращения, динамически возможные при движении по инерции гиростата вокруг закрепленной точки, или центра тяжести. Обозначим, как и в § 4, через х (относительный) результирующий момент количеств движения относительно закрепленной точки или центра тяжести, происходящий от внутренних движений, н предположим, что речь идет об установившихся движениях, так что вектор х нужно считать постоянным относительно неизменяемой части S гиростата.
В искомых перманентных вращениях мы, очевидно, будем иметь при обычных обозначениях К = 0, так что на основании уравнения (48) п. 27 угловая скорость » должна удовлетворять уравнению
(/С+х)Х« = 0.
Проверить, что геометрическое место возможных перманентных осей есть конус второго порядка, уравнение которого относительно главных осей инерции системы S определится в виде
Ax By Cz
х у 2=0.
Ха; X2/ Xs
Вспоминая уравнение конуса Штауде (гл. VIII, п. 25), мы увидим тождественность двух уравнений, за исключением лишь подстановки вместо координат X0, Уо, Z0 центра тяжести постоянных Xa., \у, Jjs. Поэтому исследование частных случаев можно вести способом, совершенно аналогичным способу, указанному в упражнении 11 упомянутой главы.
Более глубокое изучение этих перманентных вращений и их устойчивости см. Lazzarino, Rend. Асс. Lincei, с. 5а т. XXVI, 19172, стр. 146—151; Atti Асс. Torino, т. LIV, 1919, стр. 202—219.
