Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Вольтерра на основании указанных выше наблюдений отметил (см. упомянутую работу), что, не прибегая к предположению о
1) Volterra, Sur la theorie des varialions des latitudes, Acta math. т. 22, 1899, стр. 201—358.
2) Из этих станций, расположенных на одной и той же 39-ой параллели северной широты, одна находится в Карлофорте в Сардинии, две принадлежат Соединенным Штатам, одна Японии и две СССР.
222 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ с циклическими движениями
пластических деформациях Земли, эти изменения широт всегда можно было бы объяснить посредством подходящего гиростатического момента у, предполагая существование некоторого внутреннего циклического движения, что является возможным на основании того факта, что на самой поверхности Земли можно наблюдать непосредственно движения, которые, по крайней мере в первом приближении, имеют циклический характер (морские, речные, атмосферные течения)*).
27. Установившиеся циклические движения. Уравнения Вольтерра. Предположим, что внутренние циклические движения гиростата S являются установившимися или стационарными; под этим мы понимаем, что неизменным во времени по отношению к неизменяемой части 5 гиростата остаются не только распределение масс, но также и распределение скоростей (относительных) отдельных материальных точек части S'. Если, например, гиростат состоит из ящика, внутри которого свободно вращаются вокруг осей, неизменно связанных с ним, гироскопы (в узком смысле), то для стационарности внутренних движений необходимо и достаточно, чтобы оставалась постоянной угловая скорость каждого гироскопа, что можно себе представить осуществленным посредством подходящих электрических приборов.
В случае установившихся внутренних движений результирующий момент у (относительных) количеств движения части S' относительно какой-нибудь точки О, неизменно связанной с S, очевидно, будет вектором, постоянным относительно 5; это будет иметь место, в частности, как в том случае, когда центр приведения О представляет собой закрепленную точку части S, так и в том случае, когда он совпадает в любой момент с центром тяжести Е. В обоих этих случаях уравнение (47) или равносильное ему уравнение (47') при условии, что результирующий момент M внешних сил можно выразить через углы Эйлера и их первые производные, становится пригодным для определения этих главных неизвестных 0, ср, ф задачи (в функциях времени, постоянных интегрирования и постоянных составляющих гиростатического момента).
Замечательное упрощение, соответствующее тому результату, что для твердого тела, закрепленного в одной точке, движение приводится к движению по Пуансо, мы будем иметь в том случае, когда внешние силы, действующие на гиростат, будут все равны нулю или, по крайней мере, будут иметь результирующий момент относительно О, равный нулю (спонтанное движение гиростата или движение гиростата по инерции).
Уравнение (47') приведется тогда к виду
/Г+о>Х(*+Х) = 0- (48)
*) Этот вопрос изложен в работе Н. Е. Жуковского: „Геометрическая интерпретация теории движения полюсов вращения Земли по ее поверхности", Полное собрание сочинений, т. I, 1937. (Прим. ред.)
S 4. ГИРОСТАТЫ. УСТАНОВИВШИЕСЯ ЦИКЛИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
223
Если X, у, Z являются главными осями инерции, ОТНОСЯЩИМИСЯ к полюсу О (неподвижному или совпадающему с центром тяжести), и А, В, С—соответствующие главные моменты инерции гиростата, то для составляющих вектора К мы будем иметь обычные канонические выражения
Проектируя уравнение (48) на эти оси, получим следующие уравнения Вольтерра'.
где, не надо забывать, составляющие ух, уу, -/г гиростатического момента являются постоянными.
28. Первые интегралы. Уравнения Вольтерра, или уравнения спонтанного движения гиростата с внутренними установившимися движениями, так же как и уравнения Эйлера, допускают два первых интеграла: интеграл моментов количеств движения и интеграл живых сил (ср. гл. VIII, п. 9). Эти интегралы легко получаются формальным путем из тех же уравнений (48'), но еще проще получить их, если обратиться и здесь к уравнению моментов количеств движения в векторной форме.
Из уравнения (47), если иметь в виду, что x=const* M = O, непосредственно видно, что (абсолютный) момент количеств движения остается постоянным относительно неподвижных осей, так что, в частности, остается постоянной его абсолютная величина К, т. е., на основании равенств (49), имеет место уравнение
С другой стороны, умножая скалярно на w уравнение (48), получим, пользуясь формулой (13), т. I, гл. VI, п. 10,
Kx = Ар, Ky = Bq, Kz = Cr.
(49)
Ap-(В— С) qr -f qxz — r/y = О, Bg-(C-A) rq-f nx — pXz = °> Cr — (A — В)pq -\- PXy — qxx= 0,
(480
K2 = A^p2 -[- B2q2 -j- C2r2 = const.
AT (1) = 0,
а на основании уравнений (49) будем иметь тождественно
^24 ГЛ. IX. ДВИЖЕНИЯ С КАЧЕНИЕМ. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ДВИЖЕНИЯМИ
Отсюда следует (т. I, гл. IV, п. 10, (13)) соотношение
S <*¦•>) = о,
интегрируя которое получим
К ¦ W = Ap2-(- Bq2-f Cr2 = const.
Квадратичная форма относительно р, q, г, стоящая в левой части этого уравнения, представляет собой удвоенную живую силу T гиростата рассматриваемого как одно твердое тело, поэтому этот второй интеграл можно написать в виде
