Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, для всякого решения о, близкого К О, в силу интеграла живых сил
P2 + Я2 — P2 (s + А — c^2), (45')
сумма р2 -{-q2, так же как и s, остается сколь угодно долго близкой к своему начальному значению pi -j- qt> и, следовательно> также и к начальному значению Po + аналогичной суммы, относящейся к регулярной прецессии а, если, как это предполагается, р0 и q0 выбраны достаточно близкими к начальным постоянным р0 и q0 решения а. Ho, несмотря на это, в любом решении а два отдельных параметра р, q, как бы ни было мало начальное отклонение решения а от <3, в конце концов достигают конечного отклонения от одновременных значений параметров р, q решения з.
Чтобы убедиться в этом, примем за решение о другую регулярную HpeueccHroj первоначально близкую к а, и, аналогично тому, как
10 Зак. 2368. Т. Леви-Чивига и У. Амалыш.
146
гл. viii. Движение около неподвижной точки
это делалось в п. 19, сравним на экваториальной плоскости гироскопа равномерные движения по окружности концов Р(р, q), Р(р, q) экваториальных составляющих е а е угловых скоростей о> и о> в решениях о и а.
Радиусы окружностей, описываемых ими, соответственно равные
^Po + Чо и Po + <7о> будут также близкими друг к другу; но расстояние между точками Я и P не сохраняется сколь угодно малым^ если даже в начальный момент оно было сколь угодно мало, лишь бы оно отличалось от нуляJ).
В силу запаздывания одной из них относительно другой, периодически будет происходить то, что две точки (каждая на своей собственной окружности) будут находиться в диаметрально противоположных положениях. Поэтому во время движения расстояние между этими двумя точками за постоянные промежутки времени достигает
значений, сколь угодно близких к диаметру 2 Ypljr ql, который зависит от <з и не зависит от начального отклонения двух решений.
Таким образом( неустойчивость регулярных, прецессий гироскопа по отношению к параметрам р, q и, следовательно, перманентных вращений, составляющих их частный случай, доказана для осей, не совпадающих с осью гироскопа.
44. Предыдущие замечания относительно поведения экваториальных составляющих угловой скорости в двух прецессиях о и а, по существу, можно представить в эквивалентном виде, рассматривая вместо экваториальных составляющих е и е соответствующие угловые скорости to = e-\-rk и ы — е rk. В то время как концы Р, P векторов е, е (по предположению, приложенных в О) равномерно вращаются в экваториальной плоскости вокруг О, два вектора <о, ю, так как гаг остаются постоянными, также равномерно вращаются внутри тела вокруг гироскопической оси, описывая два. подвижных конуса вращения L L. Эти два соосных конуса очень близки друг к другу, т. е. имеют близкие углы раствора.
Однако, как уже было замечено в предыдущем пункте о поведении экваториальных составляющих е и е, одновременные положения
_ 1I Легко можно убедиться, что угловая скорость точки P есть не что иное, как — (х, и, следовательно, изменяется, вообще говоря, вместе с рассматриваемой регулярной прецессией. Действительно, введем вспомогательные оси, неизменно связанные с плоскостью Cz, которая в любой прецессии, о которой идет речь, будет вращаться вокруг неподвижной оси С с угловой скоростью ч. Относительно этих вспомогательных Ol ей твердое тело будет вращаться с угловой скоростью ц вокруг z. Отсюда следует, что, обратно, вспомогательные оси и, в частности, любой неподвижный относительно них вектор, какова бы ни была угловая скорость о», б)дут иметь относительно твердого тела угловую скорость — j* вокруг оси г.
7. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСКОПА 147
векторов ю и w или, что одно и то же, двух осей мгновенного вращения (описывающих два конуса со скоростями, хотя и близкими, но неравными) периодически достигают углового отклонения, имеющего порядок величины угла 29 при вершине конуса L, и потому конечного (и не зависящего от начального отклонения двух прецессий).
45. Замечания об устойчивости регулярных прёцессий с медленным
ПРЕЦЕССИОННЫМ ВРАЩЕНИЕМ. РЄЧЬ ИДЄТ О ТЄХ регулярных ПРЄЦЄССИЯХ
гироскопа, возможность которых мы доказали в п. 37 при всякой очень большой угловой скорости собственного Вращения [А и при вполне определенной очень малой угловой скорости прецессии V порядка [А-1, каков бы ни был угол наклона 0, определяющий положение оси гироскопа относительно оси прецессии (вертикальной).
Как мы уже знаем, a, v, 0 должны удовлетворять характеристическому уравнению (74'), и мы имеем
P = vTi- <7 = П2> г = Iа+ vTs-
Для такой прецессии о, поскольку v будет порядка ja-1, одновременные значения р, q будут во всякий момент очень малыми по сравнению с Ji и, следовательно, по сравнению с г. Так как составляющая угловой скорости <о по оси гироскопа значительно больше экваториальной составляющей, то угол раствора 20 соответствующего подвижного конуса Пуансо будет почти равен нулю.
Установив это, рассмотрим прежде всего в качестве решения о, вначале весьма близкого к а, другую регулярную прецессию. В таком случае остается справедливым утверждение, что, сколь бы малым ни было выбрано начальное отклонение а от о, угловое отклонение между мгновенными осями вращения для решений а и о при бесконечном возрастании времени периодически будет достигать значений порядка конечной величины 20; поэтому с математической точки зрения это решение о имеет обычный характер неустойчивости. Ho благодаря крайней малости угла 20 можно считать, что с физической точки зрения два подвижных конуса Пуансо приблизительно совпадают с гироскопической осью, так что даже при t-+oo различие между двумя регулярными, вначале близкими, прецессиями не будет заметным.
